浅析V-t图像在传送带问题中的应用

浅析V-t图像在传送带问题中的应用

乔佳文安达七中“传送带问题”和“等时圆”，“滑块与木板”是高中物理力学问题中较难掌握的专题。大部分高中学生对“传送带问题”的理解困难。对于物体放在传送带后，物体运动状态的判断难以着手。物体运动状态的可能性比较多。在物体的运动过程中，物体可能有一种或多种运动形式。

对于这种专题的分析，需从受力分析判断摩擦力的方向，结合牛顿第二定律判断加速度a的大小和方向。再根据临界条件V_物=V（V为传送带运行速度）结合μ与tanθ的关系判断物体的运动情况。传送带问题在传统的分析过程中主要体现依靠公式推导和文字分析。文字分析从形式上不直观。学生在理解文字和提取结论的过程吃力，往往认为传送带模型过于抽象不易掌握。但加入了V-t图像来辅助分析传送带问题，就解决了不直观，抽象，难理解，不易掌握的问题。下面我将以水平放置的传送带和倾斜放置的传送带为例进行多种情况的分析演示。

一、物体在水平传送到上

例如，已知传送带长为L，运行速度为V，与物块间的动摩擦因数为μ。

1.若物块轻放在水平传送带上。

对物体受力分析如上图所示，物体受到水平向右的滑动摩擦力作用。F_合=f=μmg=ma。以a=μg做初速度为零的匀加速直线运动，在接下来物体的运动形式分析如下：

由v²=2ax，得V_物² =2aL.所以V_物=

若v=

时，物体做初速度为零的匀加速直线运动，运动到B的端点时恰好V_物=V。

若v>

时，物体做初速度为零的匀加速直线运动，运动到B的端点时V_物<V。

若v<

时，物体做初速度为零的匀加速直线运动，未运动到B的端点时就有V_物=V，再以V_物=V的速度做匀速直线运动运动到B点端点。

利用V-t图像分析该题时可以转化如下图所示。

若v=

时，对应V-t图像中的①。

若v>

时，对应V-t图像中的②。

若v<

时，对应V-t图像中的③。

这样可以直接的借助图像明确物块的运动状态进而解决相关问题。

2.若物块以一定初速度冲上水平传送带上。（v₀≠0）

（1）v₀与v同向，且v₀<v时，

对物体受力分析如上图所示，物体受到水平向右的滑动摩擦力作用。F_合=f=μmg=ma。以a=μg做初速度为零的匀加速直线运动，在接下来物体的运动形式分析如下：

由v²-v₀²=2ax，得V_物² =2aL+v₀².所以V_物=

若v=

时，物体做匀加速直线运动，运动到B的端点时恰好V_物=V。

若v>

时，物体做匀加速直线运动，运动到B的端点时V_物<V。

若v<

时，物体做匀加速直线运动，未运动到B的端点时就有V_物=V，再以V_物=V的速度做匀速直线运动直到运动到B点端点。

利用V-t图像分析该题时可以转化如下图所示。

若v=

时，对应V-t图像中的①。

若v>

时，对应V-t图像中的②。

若v<

时，对应V-t图像中的③。

这样可以直接的借助图像明确物块的运动状态进而解决相关问题。

（2）v₀与v同向，且v₀>v时，

对物体受力分析如上图所示，物体受到水平向左的滑动摩擦力作用。F_合=f=μmg=ma。以a=μg做的匀减速直线运动，在接下来物体的运动形式分析如下：

由v²-v₀²=-2ax，得V_物² =-2aL+v₀².所以V_物=

若v=

时，物体做匀减速直线运动，运动到B的端点时恰好V_物=V。

若v>

时，物体做匀减速直线运动，未运动到B的端点时就有V_物=V，再以V_物=V的速度做匀速直线运动直到运动到B点端点。

若v<

时，物体做匀减速直线运动，运动到B的端点时V_物>V。

利用V-t图像分析该题时可以转化如下图所示。

若v=

时，对应V-t图像中的①。

若v>

时，对应V-t图像中的②。

若v<

时，对应V-t图像中的③。

这样可以直接的借助图像明确物块的运动状态进而解决相关问题。

（3）v₀与v反向时，

对物体受力分析如上图所示，物体受到水平向右的滑动摩擦力作用。F_合=f=μmg=ma。以a=μg做匀减速直线运动，在接下来物体的运动形式分析如下：

假设物块减速到0，则有v₀²=2ax=2μgx，（看成初速度为零的匀加速直线运动的逆运动）

若v₀=

时，物体一直做匀减速直线运动，运动到B的端点时恰好V_物=0。

若v₀>

时，物体一直做匀减速直线运动，运动到B的端点时V_物≠0。

若v₀<

时，物体先做匀减速直线运动，减速到0（未达到B点）后，在反向做匀加速直线运动。

利用V-t图像分析该题时可以转化如下图所示。

若v₀=

时，对应V-t图像中的①。

若v₀>

时，对应V-t图像中的②。

若v₀<

时，对应V-t图像中的③。

这样可以直接的借助图像明确物块的运动状态进而解决相关问题。

二、物体在倾斜传送带上

例如，已知传送带运行速度为V，与物块间的动摩擦因数为μ，与水平面间的夹角为θ。

1.传送带斜向上传送

（1）若物块轻放在传送带的底端，且μ>tanθ.

对物体受力分析如上图所示，物体受到斜向上滑动摩擦力作用，f=μFn。Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。由于μ>tanθ，则μmgcosθ>mgsinθ。得F合=μmgcosθ-mgsinθ=ma，a=g（μcosθ-sinθ）。物体的运动形式分析如下：

ⅰ.若传送带较短时，物体将以a=g（μcosθ-sinθ）向上做初速度为零的匀加速直线运动。

ⅱ.若传送带较长时，物体先以a=g（μcosθ-sinθ）向上做初速度为零的匀加速直线运动，当速度与传送带v相等时，再以速度v做匀速直线运动。

利用V-t图像分析该题时可以转化如下图所示。

若传送带较短时，对应V-t图像中的①。

若传送带较长时，对应V-t图像中的②。

（2）若物块放在传送带的底端，V₀<V(V₀≠0)且μ>tanθ.

对物体受力分析如上图所示，物体受到斜向上滑动摩擦力作用，f=μFn。Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。由于μ>tanθ，则μmgcosθ>mgsinθ。得F合=μmgcosθ-mgsinθ=ma，a=g（μcosθ-sinθ）。物体的运动形式分析如下：

ⅰ.若传送带较短时，物体将以a=g（μcosθ-sinθ）向上做匀加速直线运动。

ⅱ.若传送带较长时，物体先以a=g（μcosθ-sinθ）向上做匀加速直线运动，当速度与传送带v相等时，在以速度v做匀速直线运动。

利用V-t图像分析该题时可以转化如下图所示。

若传送带较短时，对应V-t图像中的①。

若传送带较长时，对应V-t图像中的②。

（3）若物块放在传送带的底端，V₀<V(V₀≠0)且μ<tanθ.

对物体受力分析如上图所示，物体受到斜向上滑动摩擦力作用，f=μFn。由于Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。因μ<tanθ，则有μmgcosθ<mgsinθ。即F合=mgsinθ-μmgcosθ=ma，a=g（sinθ-μcosθ）。即物体沿传送带斜向上做匀减速直线运动。物体的运动形式分析如下：

利用V-t图像分析该题时可以转化如下图所示。

（4）若物块放在传送带的底端，V₀>V(V₀≠0)且μ>tanθ.

对物体受力分析如上图所示，物体受滑动摩擦力作用，f=μFn。由于Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。因μ>tanθ，则有μmgcosθ>mgsinθ。即F合=μmgcosθ+mgsinθ=ma，a=g（μcosθ+sinθ）。由于f与V₀反向，则物体做匀减速直线运动。物体的运动形式分析如下：

ⅰ.若传送带较短时，物体将以a=g（μcosθ+sinθ）沿传送带斜向上做匀减速直线运动。

ⅱ.若传送带较长时，物体先以a=g（μcosθ+sinθ）沿传送带斜向上做匀减速直线运动，当速度与传送带v相等时，在以速度v做匀速直线运动。

利用V-t图像分析该题时可以转化如下图所示。

若传送带较短时，对应V-t图像中的①。

若传送带较长时，对应V-t图像中的②。

（5）若物块放在传送带的底端，V₀>V(V₀≠0)且μ<tanθ.

对物体受力分析如上图所示，物体受斜向下滑动摩擦力作用，f=μFn。由于Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。F合=μmgcosθ+mgsinθ=ma，a=g（μcosθ+sinθ）。由于f与V₀反向，则物体做匀减速直线运动。物体的运动形式分析如下：

ⅰ.若传送带较短时，则物体将沿传送带斜向上以a=g（μcosθ+sinθ）做匀减速直线运动对物体受力分析如上左图所示。

ⅱ.若传送带较长时，则物体先沿传送带斜向上以a=g（μcosθ+sinθ）做匀减速直线运动，当物体的速度减速到v后摩擦力f的方向改变，其受力分析如上右图所示。因μ<tanθ，则有μmgcosθ<mgsinθ。即F合=mgsinθ-μmgcosθ=ma，a=g（sinθ-μcosθ），则物体再以a=g（sinθ-μcosθ）沿传送带继续斜向上做匀减速直线运动。

利用V-t图像分析该题时可以转化如下图所示。

若传送带较短时，对应V-t图像中的①。

若传送带较长时，对应V-t图像中的②。

2、传送带斜向下传送

（1）若物块轻放在传送带的顶端，且μ>tanθ.

对物体受力分析如上图所示，物体受斜向下滑动摩擦力作用，f=μFn。由于Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。因μ>tanθ，则有μmgcosθ>mgsinθ。即F合=μmgcosθ+mgsinθ=ma，a=g（μcosθ+sinθ）。物体的运动形式分析如下：

ⅰ.若传送带较短时，物体将以a=g（μcosθ+sinθ）沿传送带斜向下做初速度为零的匀加速直线运动。

ⅱ.若传送带较长时，物体先以a=g（μcosθ+sinθ）沿传送带斜向下做初速度为零的匀加速直线运动，当速度与传送带v相等时，在以速度v做匀速直线运动。

利用V-t图像分析该题时可以转化如下图所示。

若传送带较短时，对应V-t图像中的①。

若传送带较长时，对应V-t图像中的②。

（2）若物块放在传送带的顶端，V₀<V(V₀≠0)且μ>tanθ.

对物体受力分析如上图所示，物体受斜向下滑动摩擦力作用，f=μFn。由于Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。因μ>tanθ，则有μmgcosθ>mgsinθ。即F合=μmgcosθ+mgsinθ=ma，a=g（μcosθ+sinθ）。物体的运动形式分析如下：

ⅰ.若传送带较短时，物体将以a=g（μcosθ+sinθ）沿传送带斜向下做匀加速直线运动。

ⅱ.若传送带较长时，物体先以a=g（μcosθ+sinθ）沿传送带斜向下做匀加速直线运动，当速度与传送带v相等时，在以速度v做匀速直线运动。

利用V-t图像分析该题时可以转化如下图所示。

若传送带较短时，对应V-t图像中的①。

若传送带较长时，对应V-t图像中的②。

（3）若物块轻放在传送带的顶端，且μ<tanθ.

对物体受力分析，物体受斜向上滑动摩擦力作用，f=μFn。由于Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。因μ<tanθ，则有μmgcosθ<mgsinθ。即F合=mgsinθ-μmgcosθ=ma，a=g（sinθ-μcosθ），则物体以a=g（sinθ-μcosθ）沿传送带斜向上做初速度为零的匀加速直线运动。

利用V-t图像分析该题时可以转化如下图所示。

（4）若物块放在传送带的顶端，V₀<V(V₀≠0)且μ<tanθ.

对物体受力分析，物体受斜向上滑动摩擦力作用，f=μFn。由于Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。因μ<tanθ，则有μmgcosθ<mgsinθ。即F合=mgsinθ-μmgcosθ=ma，a=g（sinθ-μcosθ），则物体以a=g（sinθ-μcosθ）沿传送带斜向上做的匀加速直线运动。

利用V-t图像分析该题时可以转化如下图所示。

（5）若物块放在传送带的顶端，V₀>V(V₀≠0)且μ>tanθ.

对物体受力分析如上图所示，物体受斜向上滑动摩擦力作用，f=μFn。由于Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。因μ>tanθ，则有μmgcosθ>mgsinθ。即F合=μmgcosθ-mgsinθ=ma，a=g（μcosθ-sinθ）。物体的运动形式分析如下：

ⅰ.若传送带较短时，物体将以a=g（μcosθ-sinθ）沿传送带斜向下做匀减速直线运动。

ⅱ.若传送带较长时，物体先以a=g（μcosθ-sinθ）沿传送带斜向下做匀减速直线运动，当速度与传送带v相等时，在以速度v做匀速直线运动。

若传送带较短时，对应V-t图像中的①。

若传送带较长时，对应V-t图像中的②。

（6）若物块放在传送带的顶端，V₀>V(V₀≠0)且μ<tanθ.

对物体受力分析如上图所示，物体受滑动摩擦力作用，f=μFn。由于Fn等于重力的分力G₂,所以有f=μFn=μG₂=μmgcosθ。即F合=mgsinθ-μmgcosθ=ma，a=g（sinθ-μcosθ）。

物体将以a=g（sinθ-μcosθ）沿传送带斜向下做匀加速直线运动。

利用V-t图像分析该题时可以转化如下图所示。

对应V-t图像如上图所示。

物体在传送带上的运动形式有很多种，分析方法也是多种多样。V-t图像的引入可以直观的展现物体参与的所有运动形式。代替了传统的公式推导和理论分析，可以简单明了的总结物体运动情况。对于上述的例子和分析可能还不够精良，预判的情况不够完备。对于具体的问题的解题方式方法还需从具体问题出发。笔者只是在这里提出一个可以应用V-t图像来辅助解题的方法。“条条大道通罗马”解决问题的方法可以是多种多样的。借助用V-t图像能够更容易理解并解决传送带问题。希望V-t图像在传送带问题中的应用能够在以后学生学习传送带问题上有所帮助。