【香樟推文2114】如何寻找社会网络中的关键人物(Key Player)？
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文章来源：Ballester C, Calvó‐Armengol A, Zenou Y. Who's who in networks. Wanted: The key player[J]. Econometrica, 2006, 74(5): 1403-1417.
背景
在经济学中，个体行为对总体行为的依赖被称之为peer effect。标准的peer effect多假设所有个体受到总体的影响是一致的，或者说平均影响。这篇文章引入了网络结构，从而可以讨论异质性影响。这篇文章的主要发现有两个：1、个体的均衡行为与网络结构的关系，其发现均衡时的个体行为与其Bonacich Centrality成比例。为社会学中常用的Bonacich Centrality提供了一个微观基础。2、如何找到一个组织的关键人物？即没有这个人，对一个组织或者对社会的打击最大。这篇文章讨论了如何找到网络中的核心个体Key Player。
许多网络经济的文章都是在这篇文章的基础上进行扩展或者用到了这篇文章的结论。比如Bimpikis et al.(2019,MS)关于网络上的古诺竞争的文章。
模型
效用函数
效用函数：
这意味着个体效用是自己的行动的凹函数，如果没有网络效应，则一阶条件就是最优解。
，这意味着可以取到内点解，并且没有其他个体行为的影响时每个人收益最大化点一致，且最大收益一致。
，双边效应可以为正也可以为负。如果，那么的增加也会促使的最优反应增加——因为：，从的视角称两者的 action 是
策略互补的。反之则称之为策略替代。令 表示跨边效应(cross effect)矩阵。定义行动空间为。对可进行可加性分解，使其成为三个部分：1、个体的异质性（比如凹性）；2、全局替代部分；3、局部互补部分。
下面介绍如何分解：
定义，定义，假设。如果，那么就是凸性（个体的action和自己的utility）；如果，这意味着个体的边际收益的随着自己的action递减程度至少和自己的朋友给自己的一样大，因为：。
令。如果对于某些个体而言，其行动是策略替代的，那么显然，即。否则，，即即。令。假设，因为只在时出现，如果发生了微小扰动便不再成立。
令，其中，规定。可以看出，。此处的衡量的是从关于的策略互补性，这里是一个相对互补，相对于的是基准值(benchmark)，因为的时候，。(这里感觉很有趣，因为它实际上是把原来的既有策略互补又有策略替代，都变成了策略互补，这样容易处理！但是，其实我们还是可以根据的定义还原回去)。容易发现，这个指标和成反比，矩阵是一个非负的、主对角线为0的方阵，被解释为刻画个体间互补性的邻接矩阵。如果，那么矩阵是一个对称的、无向的矩阵。
如果并且(注意这个条件)，那么是一个矩阵，并且没有方向和权重。
令，其中。不失一般性，可以令，也就是自己对自己的影响更大。
令表示阶单位矩阵，表示全为的阶方阵，易得：
第一部分是自己的action关于自己效用的凹性部分
第二部分是全局替代性
第三部分 是局部（相对）策略互补，对于不同的个体是异质的。
根据以上公式，我们可以将个体效用函数重新写为：
Bonacich Centrality
Bonacich 中心度使用下列指标进行刻画：首先，给定标量和网络，设是其邻接矩阵，规定。
定义矩阵：
Bonacich Centrality 定义如下：
即从出发的所有walks之和。
个体的Bonacich Centrality：
根据定义可知，从而，等式在处成立。
纳什均衡与Bonacich Centrality
给定上述博弈包含的矩阵，并且假设对于所有。这样保证了矩阵的最大特征值是有定义的，并且只要对于某个，，那么最大特征值大于。对于所有，定义。令。
Theorem 1： 矩阵是定义良好的(可逆的)并且是非负的，当且仅当。如果定义良好，那么博弈存在一个唯一的纳什均衡，该解是一个内部解，并且形式如下：
如果矩阵退化为，即，那么正反馈会一直循环扩大，没有边界，从而不存在纳什均衡。如果退化为，即，此时均衡惟一。
Bonacich-Nash 均衡表达还意味着每个个体对总均衡的贡献取决于自己的Bonacich Centrality：
这种对于总均衡结果的依赖也被称为peer effect，这里的同群效应并不是同质的（或者说平均影响），而是取决于个体的网络位置，也就是个体的Bonacich Centrality。
扩展1：当且随着不同个体不同时，只需要使用加权的Bonacich Centrality ，均衡形式依然成立。
扩展2：即使和都随着个体变化而变化，也容易处理。
扩展3：即使矩阵不是对称的，也容易进行处理。
推论1： 如果矩阵是0-1矩阵，那么如果，唯一的纳什均衡存在，如定理1中所示。其中是网络中的链接总数。
定理1刻画了个体均衡行为与个体的Bonacich 中心度之间的关系，定理2刻画了个体均衡行为之和与个体间局部互补结构之间的关系。对于任何两个矩阵，且不等式至少对于一个个体成立，那么写作且，\lambda \mu_1(\textbf{G}')' data-formula-type='inline-equation'>，那么x^*(\sum)' data-formula-type='inline-equation'>。
注意：跨边效应增加不一定使得个体均衡行为总和增加，需要满足一定条件才可以。
扩展4：如果且<span role="presentation" data-formula="\textbf{G" }\gneq="" \textbf{g}'="" data-formula-type="inline-equation">，那么\lambda \mu_1(\textbf{G}')' data-formula-type='inline-equation'>可推出。
寻找网络中的核心个体
在作者的模型中，个体的均衡行为和其网络位置密切相关。作者还首次讨论了一个重要问题：网络中有许多个体，哪一个才是最关键的？或者说，去掉哪个个体之后，新的网络中总均衡行为下降的最多（或者最少）。作者提供了一个很简单的标准从而可以实现一个最优干预。
假设是对称矩阵，并且。那么，可以对其进行分解，使得是一个、无权重的、无向的邻接矩阵。定义是去掉个体之后的网络——只需要把网络的第行和第列的元素都设置为即可。
现在的问题是，去掉哪个可以使得总的均衡行为减少最多，即要求解，等价于：。
这是一个有限优化问题，一定有一个解。假设是最优解，那么称是Key Player。下面刻画。
首先定义intercentrality:
定理3： 如果，那么key player 是在网络具有最高intercentrality的个体，也就是说 对于任何都成立。
因此，想找到一个网络中的关键个体，我们只需去寻找拥有最高的intercentrality的个体即可，而intercentrality指标很容易计算，不用一个一个进行遍历。
【作者简介】
李国鹏，北京交通大学经管学院硕士研究生。对网络经济学理论与应用、平台经济、产业经济学感兴趣。邮箱guopengli@bjtu.edu.cn
Abstract
Finite population noncooperative games with linear‐quadratic utilities, where each player decides how much action she exerts, can be interpreted as a network game with local payoff complementarities, together with a globally uniform payoff substitutability component and an own‐concavity effect. For these games, the Nash equilibrium action of each player is proportional to her Bonacich centrality in the network of local complementarities, thus establishing a bridge with the sociology literature on social networks. This Bonacich–Nash linkage implies that aggregate equilibrium increases with network size and density. We then analyze a policy that consists of targeting the key player, that is, the player who, once removed, leads to the optimal change in aggregate activity. We provide a geometric characterization of the key player identified with an intercentrality measure, which takes into account both a player's centrality and her contribution to the centrality of the others.
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