八下第9讲 一周年特辑 带你发现期中试卷里的“对称美”

写在前面

时间飞逝，2017.5.1－2018.5.1，转眼之间，开设这个公众号已满1年．一年来，从第一讲   《格点作图，面积计算》 易错专题 开始，抱着能更好帮助学生的目的，也为了促进自己的成长，我坚持每周完成1－2篇．尽管放弃了许多休息时间，编辑工作也非常累，可每当看到许多家长孩子在后台的留言鼓励，朋友圈空间里同行们的点赞转发，我又充满了动力．为了这么多的关注者，我也会一直写下去的！

而本讲作为一个周年特辑，就带各位来发现期中试卷中的“对称美”．

一、中心对称之美

笔者在《八下第8讲 期中专题3 五大版块，10道小题，助力复习冲刺》中，特意强调了中心对称与轴对称的区别．前者是绕点旋转，后者是沿直线翻折．本次梁溪区八年级期中卷的填空第18题与解答第21题，就体现了中心对称之美．

分析：

解答：

分析：

(1)关于点C 对称，是画什么？中心对称啊，这学期也是学的中心对称！

解答：

继续分析：

(3)又是一个画矩形的题，在上学期的期末卷精析中，已经详细分析过了，可以查看《寒假特辑2 2017年秋学期无锡八上数学统考后3题解析(下)》再次回顾．

继续解答：

二、轴对称之美

(1)翻折中的轴对称之美

翻折，作为三大基本图形变换之一，是各类考试的高频考点，笔者也曾在往期文章中多次讲过，折痕的作用，即是角平分线，又是对称轴，又是对应点连线的中垂线，本次试卷中又出现了2道翻折题，填空17题和压轴题．

分析：

最基本模型看出来了吗？平行加角平分，构造等腰三角形，AE＝EC＝AF，则△AFE以AF为底，AB为高，面积很好求．

解答：

分析：

又是一道翻折题，又是经典模型，求BE的长，必然要求AE，CE，联系上一题的勾股定理，必然要在△BEC中构造直角三角形，∠B是特殊角，则过点C作AB的垂线，非常清楚．

至于要求△CGF的面积，有时还需利用转化思想．根据基本模型，很快能看出AE＝CE＝CF，由翻折．可得CG＝AD＝CB，那么再添一个条件，就可以证明△CGF≌△CBE了，转化到求△CBE的面积，那真的太简单了．

解答：

(2)对角线的轴对称之美

在四边形中，菱形和正方形的对角线，不仅可以将四边形分得两个成中心对称的三角形，而且可以使得这两个三角形成轴对称，在对角线上任取一点，分别与四边形的另外两个对角顶点连接，这两条线段又是关于对角线成轴对称的，就以填空16题和解答23题为例．

以上两题是开胃小菜，但都用到了对角线的“对称之美”，接下来两道硬菜，相信同学们一定很期待．选择第9题和第10题，全卷的精华．

分析：

这是典型的双动点问题，但题目中两动点的运动位置要看清，E 是线段 BO 上一动点，F 是射线 DC 上一动点，且∠AEF＝120°，我们可以这样理解，点E是主动点，点F是从动点，那么在整个运动过程中，只要抓点E的起点位置和终点位置，相应的，找到点F的起点位置和终点位置，求出EF的长，即可确定EF的长度范围，从而确定可能的整数值，为此，将整个运动过程用GIF进行展示．

解答：

反思：

本题到这似乎已经解完了，哪里体现出了对称之美呢？不急，回头再看GIF，你有什么发现？在变化过程中，我特意度量了AE和EF的长度，它们始终保持相等，这是巧合吗？

答案当然不是，接下来，就让对称之美告诉你！

解答：

小结：

由此，我们可以发现，菱形的对角线的对称之美，可以转化解题思路，让题目变得简单，下次看到对角线与一个顶点相连时，别再忘了连接它的对角顶点．

分析：

终于到了最后一题，本题选自2013年武汉中考真题，是一道不可多得的好题．DH是一条动线段，点D是定点，点H是动点，能知道点H的轨迹，或在点H的运动变化中，找到一些不变量，则可以尝试求DH的最值，怎样分析呢？

我们可以从已知条件入手，根据AE＝DF，你能得到什么．可知△AEB≌△DFC，得到BE＝CF，∠AEB＝∠DFC，∠ABE＝∠DCF三个结论，再根据G是对角线上一点，你想到了对称之美吗？∠DCF＝∠DAG，则∠DAG＝∠ABE，有什么用？当然有用，∠DAG＋∠BAH＝90°，则∠ABE＋∠BAH＝90°，那∠AHB＝90°，在H点的变化过程中，有不变量了，∠AHB＝90°．

那么在Rt△ABH中，还有不变量吗？有，斜边AB＝2，始终不变，结合直角三角形重要性质，斜边中线等于斜边一半，你又能想到什么？取AB中点M，连接MH，DH，在△DHM中，用三边关系就解决啦．

解答：

反思：

题解完了，你知道点H的轨迹吗？就以最后一张GIF作为结尾吧，本题的本质，在初三讲，也许会更好，当然，欢迎你阅读《“边对角”的解题技巧（下）——求最值》，聪明的你或许能理解．

END

如

何

关

注