八上第8讲 等腰三角形，你都掌握了吗？(中) 方法篇
写在前面
离期中考试的时间已不足两个星期，由于笔者前阶段太忙，更新时长难以控制。而最近，终于忙完了，因此，本讲我们将等腰三角形的一些解题方法进行归纳总结！
方法篇
方程思想
等腰三角形中，许多问题涉及到相等的边或角比较多，因此，我们在计算时，不妨可以设x，建立方程来解决．
方程思想
例1：
如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，则∠A等于______．
分析：
本题中，利用等角对等边，我们可以找到许多相等的角，而一般我们可以设最小的角为x，即∠DBE或∠DEB为x．
解答：
设∠EBD＝x°，∵BE＝DE，
∴∠EDB＝∠EBD＝x°，
∴∠AED＝∠EBD＋∠EDB＝2x°，
∵AD＝DE，∴∠A＝∠AED＝2x°，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝3x°，
∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝3x°，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x°，
∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴2x＋3x＋3x＝180，解得x＝22.5，
∴∠A＝2x°＝45°．
方程思想
例2：
探究与发现：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连结DE．
(1)当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
(2)当点D在BC(点B、C除外)上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
(3)深入探究：若∠BAC≠90°，试就图2探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
分析：
(1)本题主要利用2次等腰，求出∠AED的度数和∠C的度数，由于∠AED作为△CED的外角，所以两者相减即可．
(2)方法不变，设未知的∠BAD为x°，依旧借助外角．
(3)方法不变，可设未知的∠C为y°．
解答：
分类讨论
在等腰三角形一章中，有许多题目并未给图，因此，我们在自己画图时，要尝试多种情况讨论．涉及到边长度的计算，还要考虑三边关系．
分类讨论
例1：解方程
已知一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为__________．
分析：
解答：
分类讨论
例2
等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为6cm和15cm两部分，则其底边长为_______cm．
分析：
对于这道经典题，我们要学会分类讨论，如图，可能是AB＋AD＝6，也可能BC＋CD＝6．此外，设x也很讲究，设半腰长为x最合适．
解答：
设AD＝x，AB＝AC＝2x，
BC＝6＋15－2x－2x＝21－4x
①x＋2x＝6，x＝2，BC＝13，AB＝4，∵4＋4＜13，舍去．
②x＋2x＝15，x＝5，BC＝1，AB＝10，符合题意．
综上，底边长为1．
分类讨论
例3
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是30°，求底角度数_____．
分析：
对于这类没有图的问题，一定要自己画图，排除直角三角形，一般都是钝角三角形或者锐角三角形，两种情况，其中，钝角三角形的高在形外．
解答：
如图1，若△ABC为锐角三角形，则∠ACD＝30°，∠A＝60°，∠B＝60°．
如图2，若△ABC为钝角三角形，则∠ACD＝30°，∠DAC＝60°，∠B＝30°．
综上，底角度数为60°或30°．
分类讨论
例4
等腰三角形一腰上的高与底边夹角是60°，求底角度数_____．
分析：
本题与上一题如出一辙，只是稍作改变，重点还是分两种情况作图．
解答：
如图1，若△ABC为锐角三角形，则∠BCD＝60°，∠B＝∠ACB＝30°，∠BCD＞∠ACB，舍去．
如图2，若△ABC为钝角三角形，则∠ACD＝30°，∠DAC＝60°，∠B＝30°．
综上，底角度数为30°．
分类讨论
例5
已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，此等腰三角形的顶角的度数为_________．
分析：
本题同样需要分类讨论，这时候，中垂线可以和另一腰相交，也可以与另一腰的延长线相交．
解答：
如图1，当顶角为锐角时，
∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，∴∠A＝50°．
如图2，当顶角为钝角时，∠ADE＝40°，
∠DAE＝50°，
∴顶角∠BAC＝180°－50°＝130°
等积法
本章开始，等积法的运用非常广泛．一般地，一个图形的面积，可以有多种计算方式，最后的结果必然相等，从而可以求出高，等一些数据．
等积法
例1：
如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，P是BC上任意一点，若△ABC的面积是6，则点P到两腰的距离之和等于______．
分析：
(1)本题主要利用2次等腰，求出∠AED的度数和∠C的度数，显然，本题直接利用等积法，△ABC的面积等于△ABP和△ACP的面积．
解答：
等积法
例2：
如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高是2，则DE＋DF的值为_______．
分析：
与例1类似，连接AD，将△ABC面积看作两个小三角形面积之和．
解答：
等积法
例3：
如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28，AB＝20，AC＝8，则DE的长是________．
分析：
本题我们今后还会遇到很多次，根据角平分线上一点到角两边的距离相等，则DE＝DF，均作为高，利用面积恒等式即可．
解答：