代数式或函数的最值问题

代数式或函数的最值问题是中学数学比较常见的问题，解决这类问题，对于初中生而言难度较大，灵活性强，但与高中数学的学习有较紧密联系，下面举例说明几种方法。

一、      配方法

例1  当 x=___时，且y=____时，代数式-x²-2y²-2x+8y-5的最大值为________。

二、      判别式法

三、      均值不等式法

四、      分解因式法

例4    若a、b、c、d是四个不相等的自然数，且abcd=1998，则a+b+c+d的最大值是_______。

解：∵1998=1×4×7×71=1×2×14×71=1×2×7×142∴a、b、c、d的值分别为1，4，7，71或1，2，14，71或1，2，7，142.由此可求得a+b+c+d的最大值是152.

五、      分类讨论法

六、      减元法

七、      利用“主元法”求最值

所谓“主元法”即对于含有多个字母的代数式或函数，可先取其中一个变量作为主变量，而其余的变量看作常量，这种求最值的方法，即为主元法。

例7    若a、c、d为整数，b是正整数且满足a+b=c，b+c=d，c+d=a，则a+b+c+d的最大值是______。

解：注意到b取值范围的特殊性，选b作主元∵a+b=c，c+d=a ∴d=－b，c=d-b=-2b，a=c+d=-3b∴a+b+c+d=-5b∵b的最小值是1，∴a+b+c+d的最大值为－5。

八、      利用几何中两点之间线段最短求最值

九、      利用完全平方式的非负性质求最值

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