一道课本习题的变式题

在研究题目或一个普通命题的时候，我们经常把题目或命题的条件和结论进行对调，产生新的题目或命题。

这也是常见变式或命题的方法。

【变式】

题目：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，在正方形外角的平分线CF上取一点F使得AE＝EF．

求证：∠AEF＝90°．

【方法一】

延长AC至点G使得CG＝CF并连接EG，

易得△ECF≌△ECG（SAS），

所以EG＝EF＝AE，则∠EAG=∠EGA=∠F，

因为∠FEC+∠F=45°，

所以∠EAC+∠FEC+∠G+∠GEC=2×45°=90°，

所以∠AEF=180°-90°=90°．

【方法二】

分别延长AB，FC交于点G，并连接EG，证明△ABE≌△GBE（SAS），所以GE=AE=EF，得∠EGC＝∠F．

设∠EGC＝∠F=x°，则∠FEC=45°-x°，∠GEC=145°-x°，

所以∠AEB=∠GEB=45°+x°，

所以∠AEF=180°-∠AEB-∠FEC=90°．

【方法三】

过点F作FG⊥BC于点G，分别设AB＝a，EC＝x，FG＝CG＝y，

则BE＝a－x，

根据勾股定理得，AB²+BE²=AE²=EF²=EG²+FG²，

即a²+（a-x）²=（x+y）²+y²，

得（a+y）（a-y）=x（a+y），所以a＝x＋y，

所以AB＝EG，BE＝FG，

所以△ABE≌△EGF，得∠BAE=∠GEF，

所以∠AEF=180°-∠AEB-∠GEF=180°-90°=90°．

相比上面那题，本题的解法相对少一些，难度也大一些。