学好数字信号处理的诀窍之三——时域和频域的灵活切换
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考研专业课真题必练——数字信号处理王仕奎编著，北京邮电大学出版社，2020
本书是数字信号处理硕士研究生入学考试的解题指导, 对博士生入学考试也有一定的参考价值. 同时, 作为数字信号处理这门课程学习的参考书, 对于学习该课程的学生, 对讲授该课程的教师的备课、习题讲解和测试, 也有很高的参考价值.本书最初的一章对五套近年的数字信号处理考研真题进行了详细解答, 接着的八章分别介绍了数字信号处理的重要内容: 离散时间信号与系统、z变换与离散时间傅里叶变换、离散傅里叶变换、快速傅里叶变换、数字滤波器的基本结构、IIR滤波器的设计、FIR滤波器的设计、信号的抽取与插值——多抽样率数字信号处理基础. 每一章在提纲挈领地介绍基础知识点后, 辅之以大量的考研真题和著名教材习题的解答, 向学习者演示基础知识的灵活运用和答题技巧. 最后一章包含大量的各类高校考研(博)真题, 以给读者提供丰富的自我测试材料, 所有真题都包含参考解答, 解答有详有略, 以便学习者对照答案之用.
学习数字信号处理的诀窍：时域和频域的灵活切换
四种傅里叶分析
学好数字信号处理的诀窍之三——时域和频域的灵活切换 下面首先阐述四种傅里叶分析的特点及意义，引入离散傅里叶变换的概念，然后阐述学好数字信号处理的第三个诀窍，即时域和频域的灵活切换。
一、四种傅里叶分析及离散傅里叶变换DFT的引入傅里叶分析是联系时域和频域的桥梁，在信号处理中具有非常重要的地位。傅里叶分析包含四种不同的形式，即连续时间傅里叶级数(CTFS, Continuous TimeFourier Series)、连续时间傅里叶变换(CTFT, ContinuousTime Fourier Transform)、离散时间傅里叶级数(DTFS, Discrete Time Fourier Series)和离散时间傅里叶变换(DTFT, Discrete Time FourierTransform)。这四种傅里叶分析的对象和得到的结果有一个特点：要么在时域是连续的(CFS)，要么在频域是连续的(DTFT)，或者在时域和频域都是连续的(CTFT)。DFS虽然在时域和频域都是离散的，但是在时域却是无限的。计算机不能直接处理连续的信号，只能处理采样之后的离散数据；计算机也不能处理无限长的信号，实际的信号长度都是有限长的。傅里叶分析的上述四种形式只有理论意义，都不适合采用计算机处理。但是，将DTFS和DTFT结合起来，把有限长序列延拓为周期性离散信号，从而引入了离散傅里叶变换(DFT, Discrete Fourier Transform)的概念，本质上，DFT不包含新的理论，只是为了用计算机处理的方便而引入的一种工具，利用它计算离散采样信号的频率。将有限长序列进行周期延拓后，就能够计算其离散傅里叶级数，其系数即为未延拓序列的离散傅里叶变换(连续周期函数)在频率轴上的等间隔采样，这保证了其物理意义，并且是用计算机可以实现的。当序列的长度比较大时，直接计算DFT的系数是很复杂的，如果计算时间太长，对实时通信就没有意义，因而有必要引入快速算法，即快速傅里叶变换(FFT, Fast Fourier Transform)。将DFT运用于连续信号的频谱分析，将产生一系列问题，如频谱泄露、栅栏效应、分辨率等，这些概念在利用DFT进行频谱分析时需要特别注意。 二、学好数字信号处理的诀窍之三——时域和频域的灵活切换前面阐述了学好数字信号处理的两个诀窍，即MATLAB的运用和复数与向量的运用，下面讲第三个诀窍，即信号在时域与频域的灵活切换。信号有两个方面的性质，即时域和频域，这两个方面对于信号来说，正如一个硬币的正反两面，是须臾不能分离的。要学好数字信号处理，必须要在信号的时域和频域之间进行灵活的切换，这种切换的数学工具就是傅里叶分析(包括四种形式)。数学上有一个专门的分支，叫做傅里叶分析，数学家对傅里叶分析进行深入的研究，为工程师们指明了工程开发的方向，开拓了新的领域。人是生活在时间和空间中的，但是人的很多感觉却是和频率相关的，比如人耳能欣赏美妙的音乐，能欣赏美妙的歌喉，因为好的音乐在频域上更完美，好的“天籁之音”在频域上更“纯净”。各种不同的乐器在频域上的区分是很明显的，因而有经验的音乐人只要一听某种音乐，就知道是什么乐器演奏的，人耳是亿万年进化的高度发达的“频谱分析仪”，能够对音乐进行精密地分析，再加上后天长期的训练，因而能分辨精微的频率变化。人能欣赏五彩缤纷的世界，能欣赏各种美术作品，因为眼睛也是亿万年进化的高度发达的“频谱分析仪”，能感受各种不同频率的光线。一个三岁小孩能很容易分辨父母的声音，这是因为小孩的听觉系统经历了几年听力“训练”的结果，而要让计算机分辨某两个特定的人，则要经历同样复杂的训练，要寻找各种时域和频域的特征参数，还要反复进行效果验证。人通过感知器官，可以迅速地地获得信号在频域的几乎所有信息，而用计算机对信号进行同样的处理，就要复杂得多，必须设计各种“算法”对信号进行分析。信号在时域和频域需要经常来回转换，转换的桥梁是傅里叶分析，信号处理需要充分挖掘和利用信号在频域的物理性质，因而才成为一门独立的学科。信号处理需要先在时域观察信号的特征，再转换到频域观察其特征，在频域进行处理之后再转换到时域观察其特征，或者在时域和频域同时观察信号的特征。有时在时域杂乱无章的信号，在频域却隐藏了很多信息，反之亦然。有的在时域根本无法处理，必须转换到频域进行处理，之后再回到时域来感觉一下处理的结果。学习数字信号处理，需要充分理解信号和系统在频域的物理意义，并且根据需要在时域和频域来回切换，这是学习信号处理的基本思维，而不要将信号在时域和频域孤立起来。 下面举一个简单的例子，说明在一个域中是杂乱的信号，经过适当的处理后在另一个域中就会发现其中的规律性。比如，下面图中的信号是时域的，看起来杂乱无章，没有任何规律。
但是，对信号进行功率谱分析 (功率谱指平稳的功率信号的功率在频率域的分布情况，功率信号指功率有限的信号)，可以明显看出有两个谱峰，一个在大约30赫兹处，一个在大约70赫兹处，说明这个信号里面含有两个周期信号，只是这两个周期信号隐藏在类似噪声的信号中，在时域是看不到这两个周期信号的。
上面所说的平稳的功率信号，“平稳”一词在信号分析中有很严格的定义，平稳包括严平稳和宽平稳，有兴趣的同学可以继续学习我主讲的《随机信号分析》，它是《数字信号处理》的后续课，后者分析确定信号，前者分析具有随机性的信号。随机信号的分析要引进很多新的概念，如期望、方差、自相关函数、宽平稳、功率谱、各态历经等。