数与图(21)——三角函数

在此前的《数与图》系列文章中，我们讨论最多的是由幂函数组成的多项式函数，包括函数的图像、求导数、求积分，甚至还利用二次函数完成了一个机器学习的案例。除此之外，我们还讨论了圆、椭圆及双曲线函数，并绘制了相应的图像。本文即将讨论的三角函数，与之前的各种函数最大的不同是，三角函数具有周期性。本文的目标是绘制正弦、余弦及正切函数的曲线，并讨论周期、振幅等概念。

三角函数的定义源自三角形，它体现了直角三角形中角与边之间的关系，如图1所示。

图1 三角函数的定义

想象图1中的斜边c从零度角开始逆时针旋转，当θ=0度时，a=0，b=c，因此sinθ=0，cosθ=1；随着θ增加，a逐渐增加，b逐渐减小，当θ=90度时，a=c，b=0，因此sinθ=1，cosθ=0；随着角度的继续增大，当θ=180度时，a=0，b=-c，因此sinθ=0，cosθ=-1；当θ=270度时，a=-c，b=0，因此sinθ=-1，cosθ=0；当θ旋转到360度时，斜边c重新回到0度，如此周而复始地旋转，角度不断增加，而sinθ和cosθ的值永远在-1到+1之间循环，这就是函数周期性的来历。对于sinθ及cosθ来说，它们的周期就是360度，而tanθ的周期则是180度。

角θ的度量可以用角度，也可以用弧度，角度与弧度之间的换算关系是

标准的正弦函数写作

其中A称为振幅，它决定了函数的最大值/最小值；ω称为角频率，它决定函数的周期，当ω=1时，函数的周期为2π（360°），当ω=2时，函数的周期为π（180°）。φ称为初相位，它决定函数图像在x轴上的平移量。

在App Inventor的内置块分组中，数学代码块里包含了正弦、余弦及正切块，它们接受的数值单位为角度，我们将分别使用这些块来计算函数值，并绘制函数图像。

一、正弦函数

为了绘制函数图像，需要确定自变量x及函数值y的取值范围。由于正弦、余弦函数的周期为360度，为了能够绘制两个周期的图像，x轴的最小值设为-400，最大值设为400；y值则取-4到4。将《数与图(20)》中的项目另存为“三角函数”，并重新设置绘图数据。重新命名项目中的按钮，并重新设置其显示文本属性。在屏幕下方添加两个水平布局组件，再分别向两个水平布局中添加三个标签、三个文本输入框（仅限数字），相关设置如图2所示。

图2 修改用户界面

下面开始编写程序。

1、声明全局变量

声明两个全局变量——颜色列表及颜色索引值，代码如图3所示。

图3 声明全局变量

2、创建过程

创建一个过程——求正余弦函数坐标列表，代码如图4所示。

图4 创建过程——求正余弦函数坐标列表

3、编写事件处理程序

编写正弦按钮的点击事件处理程序，代码如图5所示。

图5 正弦及余弦按钮的点击事件处理程序

4、测试

依次修改振幅、角频率及初相位，然后点击绘制正弦曲线，观察曲线的变化。测试结果如图6所示。

图6 程序的测试结果

图6中共有7条曲线，按照赤橙黄绿青蓝紫的顺序，它们依次表示下列函数

读者可以也可以自行测试，观察振幅、角频率及初相位对函数曲线的影响。

二、余弦函数

这里只需要编写余弦按钮的点击事件处理程序，其实它与正弦按钮的程序几乎完全相同，只差一个参数——余弦。此时应该创建一个过程，来避免代码的复制粘贴，最终的代码如图7所示。

图7 创建并调用过程——绘制正余弦曲线

测试结果如图8所示。

图8 绘制余弦曲线的结果

这次绘制了6条曲线，其中红色曲线的函数为y=cosx，蓝色曲线的函数为y=4cos(x-90)，其他曲线请读者给出它们的函数表达式。

三、正切函数

与正弦、余弦函数不同的是，函数y=tanx的周期为180°，而且当x趋近于±90°时，函数值趋近于无穷大：当x从±90°的左侧趋近时，tanx趋近于正无穷，当x从±90°的右侧趋近时，tanx的值趋近于负无穷。基于上述特点，无法连续绘制各个周期中tanx的图像，因此需要单独绘制每个周期中的图像。

创建一个有返回值过程——y不出界，再创建一个无返回值过程——求正切函数坐标列表，代码如图9所示。

图9 创建两个过程

然后编写正切按钮的点击事件处理程序，代码如图10所示。

图10 正切按钮的点击事件处理程序

在测试之前，需要修改用户界面上的绘图参数，将y的最大值改为10，最小值改为-10，主间距为2，辅间距为0.4，然后进行测试。测试结果如图11所示。

图11绘制正切曲线的测试结果

以上我们用程序绘制了三种三角函数的曲线，其中的正弦、余弦曲线呈现出波的形式，这种简单而优美的曲线，恰好与物理学中的简谐振动相对应，例如钟摆的运动。