384 优化设计方法-求解
384 优化设计方法-求解
背景
拟合确定优化模型中的常系数后，就可以用优化模型求解使目标实现最佳值的变量参数。
求解优化模型的方法有多种，如求偏导法、直接搜索法等。
求偏导法
设某优化模型拟合常系数后为（式1）：
H=2.3(x-3.5)2+1.6(y-6.6)2+3.6xy
其中，H为待优化的目标（能耗），x、y是优化变量。
把H对x、y求偏导并使偏导为0，得（式2）：
(эH/эx)y=2*2.3(x-3.5)+3.6y=0
(эH/эy)x=2*1.6(y-6.6)+3.6x=0
式2是二元一次方程组，求解得：
x=-13.92
y=22.26
即x、y取上述值时目标H取最佳值（最小值）：
H=2.3*(-13.92-3.5)2+1.6*(22.26-6.6)2+3.6*(-13.92)*22.26
=698+392-1115=25
上述求解是比较理想的过程，实际应用中可能会有如下问题：
非线性方程组问题。当优化模型不是多项式，或优化模型是多项式但变量是三次或更高次方程时，偏导所得的方程组是多元非线性方程，需要根据方程组特性采用适宜的求解方法求解。
多解问题。多元非线性方程组的解可能有多个，求解过程不能有遗漏，且需要分析哪些解是极大（小）值，哪个解是最大（小值），如下图。
非工程解问题。方程组求解得出的数学解不是工程实际中的合理值，如料液温度超限，管径不是标准系列等，这类问题可对前面的各优化环节进行适宜调整，也可用下述的直接搜索法处理。
直接搜索法
直接搜索法是基于优化模型中各变量都是实际物理量（或化学量等），实际应用中都有一定的变化范围，在基于对装置或过程理解的基础上，可把各参数优化区域缩小到一个合理范围内，在此范围内把各变量变化网格化，直接计算搜索各网格点优化目标的值，找到最佳点。
设气扫式膜蒸馏装置某综合优化目标P主要与三个变量有关：料液温度TF、料液流速VF、吹扫气流速VA，经过初步分析表明，料液温度范围在40～60℃之间，料液流速范围在0.5～2.0m/s之间，吹扫气流速在1.0～5.0m/s之间。
把料液温度以0.1℃为间隔分为200段（201点），料液流速以0.05m/s为间隔分为30段（31点），吹扫气流速以0.1m/s为间隔分为40段（41点），以此间隔划分网格，网格点数为201*31*41=255471点。
对上述255471点，利用优化模型逐点计算各点时的P值，共得到255471个P值，最小的P值就是优化目标的最佳值，P取最小值时的网格点参数就是最佳料液温度、料液流速和吹扫气流速。
直接搜索法的最大优势是适应性强，几乎所有的优化问题都可以解决，但要求对所研究的装置或过程有较深刻的理解，对优化变量提炼和变量参数优化范围的设定需要较丰富的设计和调控经验，也需要一定的编程技巧。
延伸分析
拟合确定优化模型的常系数后，除可以求解最佳优化目标和优化参数外，还可以做很多其他工作，如优化目标随优化变化量灵敏度分析、优化目标随关键参数变化的三维直观图等。
灵敏度分析
灵敏度是指优化目标随某变量的变化率，即优化目标随某变量的偏导。
优化目标随某变量的偏导通常是一个函数（灵敏度函数），即灵敏度通常不是定值，而是随其他变量变化的。
通过对灵敏度函数的分析，可以掌握某变量的灵敏显著区和对优化目标的最大影响度，有助于对各优化变量进行聚类分析，确定关注区域的关键优化变量。
三维直观图
三维直观图是优化目标随关键变量以三维图形式直观展示，如下图。
利用三维直观图，可以判断优化值附近是尖峰极值点还是平缓极值点，从而指导实际装置或过程确定参数时对优化变量的允许偏差等要求。