2300 年前，在古希腊时期，为了处理整数的除法，把大于1的自然数里，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。称之为素数，欧几里得在《几何原本》中提出了一个非常经典的证明，称之为欧几里得素数定理。

在欧几里得素数定理中，欧几里得证明了素数有无穷多个，并提出少量素数可写成“2^p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。

欧几里得的研究为梅森素数的诞生奠定了基础，由于这种素数具有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家（包括费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代等）和无数的业余数学爱好者对它进行探究。

梅森断言的提出与梅森素数的诞生

1644年，法国著名数学家梅森曾对“2^p-1”型素数作过较为系统而深入的探究，并作出著名的断言，被称之为梅森猜想，这极大地激发了数学界的探索热情。

因为梅林是当时欧洲科学发史上的重要人物和法兰西科学院的奠基人，为了纪念他，1897年在瑞士苏黎世举行的首届国际数学家大会就将“2n-1”型的素数称为“梅森素数”，其余的数称为梅森合数。

梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数，因此寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程。

因为梅森断言里前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分。当时，人们对其猜想深信不疑，连德国数学大师莱布尼兹和哥德巴赫都认为它是对的。

不过在300多年后，梅森的断言惨遭证伪，百年神话顷刻间破灭。

1903年，哥伦比亚大学的数学家科尔在美国数学会的一个会议上作了一篇《论大数的因式分解》。在“演讲”过程中，科尔始终一言不发，只默默地在黑板上进行计算。

他先算出2^67-1的结果，再算出193707721×761838257287的结果，两个结果完全一样，这就证明2^67-1能够被除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数整除。

科尔第一个否定了“2^67-1是个素数”这一自梅森断言以来一直被人们相信的结论，其“演讲”赢得了全场听众起立热烈鼓掌和齐声喝彩。这个“一言不发的演讲”也成了科学史上的佳话。

从手算笔录到计算机时代——梅森素数的探寻史

在科学发展史上，梅森素数的寻找在手算笔录年代曾作为检测人类智力发展的一项重要指标。

因为梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，它的探究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，还需要进行艰苦的计算，科尔对于2^67-1的推算花费了他三年的全部星期天，你就可以知道困难度有多高。

1772年，素有“数学上帝”之称的欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了2^31-1是第8个梅森素数；这个具有10位的素数（即2147483647），堪称当时世界上已知的最大素数。他的计算能力、大脑反应能力和解题技巧可以说无愧于“天选之子”的美誉。

而在计算机时代，梅森素数的发现则侧面反映了一个国家的科技水平。

因为计算机如果要发现梅森素数，需要强大的算力，这需要计算机具有强大的性能，从而一定程度上促进了计算机的发展，梅森素数也成了检测计算机功能的一项指标。

比如60年代末，人们使用第三代计算机探索梅森素数已变得十分艰难，所以1979年4月，美国克雷公司的计算机专家史洛温斯基和纳尔逊使用Cray-1型超级计算机找到超过1万位的梅森素数M44497。

第三代计算机

梅森素数的探索，也激发着计算机理论的发展更新。比如由苹果公司著名科学家克兰多尔所发明的“快速椭圆加密系统”，就将梅森素数应用于快速加密和解密信息。梅森素数的搜索，促进了分布式计算与程序设计艺术的发展。

而法国数学家爱德华·卢卡斯和美国数学家德里克·莱默发明的“卢卡斯-莱默检验法”是迄今为止判断梅森数素性最快最有效的工具。

卢卡斯-莱默检验法是由爱德华·卢卡斯于1878年完善，德里克·亨利·莱默随后于1930年代将其改进。主要用于梅森数的素性检验。

20世纪90年代中后期，在美国程序设计师沃特曼和库尔沃斯基等人的共同努力下，建立了世界上第一个基于互联网的分布式计算项目——因特网梅森素数大搜索（GIMPS）。该项目采取网格计算的方式，并利用大量普通计算机的闲置处理能力来获得相当于超级计算机的运算能力。1997年，美国数学家、程序设计师库尔沃斯基建立了“素数网”，使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，总部设在美国的电子新领域基金会（EFF）于1999年设立了专项奖金悬赏参与GIMPS项目的梅森素数发现者。

梅森素数

人们只要在GIMPS的主页上下载一个计算梅森素数的免费程序，就可以立即参加该项目来搜寻新的梅森素数，有兴趣的数学爱好者也可以去参加一下。