谈谈圆的学习

前几天，之前的学生家长突然微信跟我留言，说是儿子现在学直线与圆的位置关系有点缺陷，希望我能给点思路。“缺陷”这个词给我吓一跳，在我看来学习出现问题或瓶颈都属于正常现象，要是什么都会，那也就不需要学习了，所以不至于用“缺陷”这个词来评判。

回到圆的学习，我觉得所有几何的学习一定要牢牢把握图形的性质，一切从图形本质的特点出发来思考。圆的概念表述有很多形式，包括《墨经》中所言“圆，一中同长也”，圆就是那一个圈圈，我们用圆心这个概念来确定圆的位置，半径这个概念来确定圆的大小，所谓的圆心、半径只是为了研究圆而提出的概念，与圆本身无关。我们常说圆是完美的图形，完美在哪里？就在于那个圈圈同时具备着很多很好的性质，包括轴对称性，中心对称性，旋转不变性等，从而让圆中的弧、弦、圆心角、圆周角等具备了独特的性质，也就引出大家熟知的垂径定理、圆心角定理、圆周角定理等一系列定理。我们研究图形，抓住本质的特征，往往才能事半功倍。

说完圆本身的问题，再回到家长所言的直线与圆的位置关系，这就是圆与其它图形的问题。直线和圆的关系从直观上看，通俗地讲，无外乎直线在圆外（没有公共点），直线贴着圆（只有一个公共点），直线穿过圆（有两个公共点）。但数学上讲究严谨的推理论证，我们需要用一些推理的方法来论证直观看到的情况。由此我们想到决定圆的要素，圆心和半径，并以圆心到直线的距离来判定直线与圆的位置关系，这是顺理成章的事情。然后我们再研究这些位置关系中较为特殊的相切，其性质和判定就是下一步思考的内容了。

学习知识如果能理清其脉络，那我们在理解和应用上就自然得心应手。而相关题目的训练总是经历量变到质变的过程，家长无需过于焦虑。