圆被誉为数学中最美的图形，其根本原因在于圆独特的性质。圆同时具备旋转不变性、中心对称性、轴对称性这些特殊的图形性质，使得与圆相关的线段和角具有了更多的对应关联。在与圆相关的诸多定理中，以圆心角定理、圆周角定理及相关推论为纽带，为我们证明边相等、角相等提供了更多的思路和方法。下面以一例说明：例 我们把“有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形”叫做“同类三角形”.如图1，在△ABC 和△ABD 中，AB=AB,AC=AD，∠B=∠B，则△ABC 和△ABD 是“同类三角形”.(1) 如图2，四边形ABCD内接于圆，点C是弧BD的中点，求证：△ABC 和△ACD 是同类三角形；(2) 如图3, △ABC 内接于⊙O，⊙O 的半径为3√2， AB =6，∠BAC =30°，求∠C 的度数与BC 的长；(3) 如图3，在（2）的条件下，若点D 在⊙O 上，△ADC 与△ABC 是非全等的同类三角形，且AD＞CD，求CD 的值.
本题事实上结合了很多知识点，是一道背景丰富的综合题。
首先，从题干背景上来讲，此题给出的“同类三角形”的条件事实上就是八年级学习全等三角形时的一个问题：边边角不能判定三角形全等。那么具备两边及其中一边的对角对应相等的三角形又具备哪些值得探究的点呢？本题就是从这个角度出发进行研究，并考验学生的综合分析能力。
其次，本题将所谓的“同类三角形”与圆结合，放在圆中进行研究也是研究方法的一个亮点。为什么解决“同类三角形”的问题可以放在圆中研究呢？其道理正在与开篇所言，圆具备独特的边角对应特性，角的问题可以转化为边的问题，边的问题可以转化为角的问题。如此大大增加了研究的便捷度，给研究打开了空间。
其三，此题命制背景是九上期中左右，学生学习完与圆相关的线段和角的关系，还没有接触相似等内容，对于图形变换的认知还仅仅停留在合同变换上，而此题又专门与全等相区分，给学生提供更多的思考探究空间。
下面回到本题的解决上来，事实上这种含有“新定义”的题目，严格按照定义的要求去做就可以了。
（1）直接利用等弧得等弦，进而推得等角，即证；
（2）求圆周角，一般不能直接求解的情况下可间接求解，先求相对应的圆心角的度数即可。此问中数据构造是考量过的，连接OA、OB，△OAB直接是1:1：√2的等腰直角三角形，在没有学习三角函数之前可以选择勾股定理的逆定理来说明，进而由圆周角定理可得∠C=45°。注意到还有一个条件没用，就是∠BAC =30°这样一个条件，它的用处就在于求BC，连接CO，易得△OCB是正三角形，从而BC=3√2；
（3）此问稍微复杂一些，容易出现的问题是遗漏情况。所谓△ADC 与△ABC 是同类三角形，由于已经有一条边重合（AC=AC），那只需再有一组边相等，及这些边对的一组角相等即可。
如若从边的角度出发，无外乎AD=AB，AD=BC，DC=AB，DC=BC这四种情况，在圆中我们可以很方便地作图如下：
此时我们无需再去考虑角的问题，因为在同圆中根据圆心角定理和圆周角定理可以很方便地由边相等推出角相等，这就是圆的特殊性。事实上本问出现了很重要的限制条件“△ADC 与△ABC 是非全等的同类三角形，且AD＞CD”，大大简化了问题的难度。由上图不难看出最终符合条件的只有两个点，即D1和D4，相应的CD的长度也即3√2和6如若从角出发，因为公共边的存在，构造相等角的途径无外乎构造平行线或轴对称，作图如下：
与从边出发得到的结果是一样的。
抛开圆，我们再来讨论这个问题，就是给定△ABC，找一个△ADC，使其与△ABC是同类三角形，我们如何来找？
没有了圆的背景如何作图找点？这个问题变得更加难于分析清楚和确定了。圆的背景给我们提供了便捷，无需在考虑边的时候再去考虑角，考虑角的时候再去考虑边，难度大大地降低了。
这个例子除了告诉我们圆中边角关系的转化及应用以外，也提示我们在一些看似与圆无关的问题中，能否考虑放入圆的背景去思考，会有事半功倍的效果。
