转化面积、构建相似、运用函数求最值

同高的两个三角形:面积比转化为底的比,构建相似三角形转化线段比,分别表示出两条线段,运用函数求最值。

例:平面直角坐标系XOY中,已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A(−1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,−2)

(1).求抛物线解析式

(2).如图点D为第四象限抛物线上一点,连接AD,BC交于点E,连接BD,记△BDE面积为S₁,△ABE面积为S₂,求S₁/S₂最大值。

分析:(1).易求:y=1/2.x²−3/2.x−2(略)

(2).因为△BDE和△ABE同高,所以面积比等于底的比,即:S₁/S₂=DE/AE

此时需要转化DE/AE,过点D作DG⊥x轴,交x轴于点G,交BC于点F,过点A,作AK⊥x轴,交BC于点K

易证:△DEF~△AEK

∴S₁/S₂=DE/AE=DF/AK

即:求DF/AK最大值

易求:BC所在直线解析式:y=1/2x−2

A(−1,0),求得:K(−1,−5/2)

∴AK=5/2

设:D(a,1/2.a²−3/2.a−2)

则:F(a,1/2a−2)

∴DF=−1/2.a²+2a

∴DF/AK=(−1/2.a²+2a):5/2

=−1/5a²+4/5.a=−1/5(a−2)²+4/5

当:a=2时,DF/AK取得最大值:4/5

即:S₁/S₂最大值=4/5。

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