压轴题打卡61：圆有关的综合问题分析

如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB=BF．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若CF=4，DF=√10，求⊙O的半径r及sinB．

参考答案：

证明：（1）连接OA、OD，如图，

∵点D为CE的下半圆弧的中点，

∴OD⊥BC，

∴∠EOD=90°，

∵AB=BF，OA=OD，

∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，

而∠BFA=∠OFD，

∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°，即∠OAB=90°，

∴OA⊥AB，

∴AB是⊙O切线；

（2）解：OF=CF﹣OC=4﹣r，OD=r，DF=√10，

在Rt△DOF中，OD²+OF²=DF²，即r²+（4﹣r）²=（√10）²，

解得r₁=3，r₂=1（舍去）；

∴半径r=3，

∴OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1．

在Rt△AOB中，AB²+OA²=OB²，

∴AB²+3²=（AB+1）²，

∴AB=4，OB=5，

∴sinB=OA/OB=3/5．

考点分析：

切线的判定．

题干分析：

（1）连接OA、OD，如图，根据垂径定理得OD⊥BC，则∠D+∠OFD=90°，再由AB=BF，OA=OD得到∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，加上∠BFA=∠OFD，所以∠OAD+∠BAF=90°，则OA⊥AB，然后根据切线的判定定理即可得到AB是⊙O切线；

（2）先表示出OF=4﹣r，OD=r，在Rt△DOF中利用勾股定理得r²+（4﹣r）²=（√10）²，解方程得到r的值，那么OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1．

然后在Rt△AOB中利用勾股定理得AB²+OA²=OB²，即AB²+3²=（AB+1）²，解方程得到AB=4的值，再根据三角函数定义求出sinB．

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