波利亚的怎样解题表学习心得

在解题方面的经验以及注意别人解题的经验，必须成为建立探索法的基础。在这种研究中，我们不应该忽略任何种类的问题，并应当找出关于处理各类问题的所有共同特征来。我们的目的应该是找出一般特征，而与问题的主题无关——数学家波利亚

评注：数学家笛卡尔说：“我所解决的每一个问题都将成为一个范例，以用于解决其他问题。” 多题一解，总结出解决问题的共性规律，找出各种题目有共性的解题思想，数学思想。

中学数学四大数学思想方法：函数与方程，转化与化归，分类讨论，数形结合

附注：波利亚是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士，不愧为一位杰出的数学家。波利亚热心数学教育，十分重视培养学生思考问题分析问题的能力。他认为中学数学教育的根本宗旨是“教会年轻人思考”。教师要努力启发学生自己发现解法，从而从根本上提高学生的解题能力。

每个同学差不多都有过这样的经历：一道题，自己总也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个解法的？”如果这个解法不是很难时，“我自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”

波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。

波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去在研究数学时解决问题的过程。实际上是他解决研究问题时的思维过程的总结。这正是数学家在研究数学教育，特别是研究解题教学时的优势所在，绝非“纸上谈兵”。

波利亚和“怎样解题表”

乔治·波利亚（G.Polya，1887-1985年）出生于匈牙利布达佩斯。上中学时，他就是一个很有上进心的学生。但每当遇到较难的数学题时，他也时常感到困惑：“这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？这个结论好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这个事实的？我自己怎样才能想出或发现他们呢？” （这说明大数学家也有很多问题，他自己是想不出来的。围棋中的很多死活类难题，也是类似的情形，有很多难题，无法独立思考解出是很正常的现象）

无论在学习期间或任教期间，波利亚始终不忘研究少年时学数学所遇到的困惑。1944年8月，波利亚终于将他的研究成果公布于世，这就是名著《怎样解题表》。

“怎样解题表”就是《怎样解题》一书的精华，波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤。

怎样解题表

第一步：弄清问题。（已知——>可知 未知——>需知 已知——>可知——>需知—>未知 这样的推理过程，数学和物理都是一样的思路）

1．未知数（亦可以看成是未知条件，由于下面的都一样，所以省略了）是什么?已知数据（也可以看成是已知条件）是什么？条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数（未知条件）,条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?

2．画一张草图,并引入适当的符号。

3．把条件的各部分分开,并把它们写下来.

找出已知数（已知条件）和未知数（未知条件）之间的联系。如果找不出联系，你可能不得不考虑辅助问题。

你最终要得出一个求解计划。

第二步：拟订计划

1．考虑以前是否见过它? 是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你是否知道与此有关的问题。你是否知道一个可能用得上的定理?

2．看着未知数，试着想出一个具有相同或相似未知数的熟悉的问题.

3．假如有一个与你现在的问题有关且早已解决的问题，你能够利用它？能否利用它的结果或方法?为了能够利用它,你是否应该引入某些辅助元素?

4．能不能重新叙述这个问题，能否用不同的方法重新叙述它?

5．回到定义去.

6．如果你不能解决所提出的问题,可以先解决一个与此有关的问题.能否想出一个更容易着手的问题。一个更普通的问题？一个更特殊的问题？一个可以类比的问题？能否解决问题的一部分？仅保持条件的一部分而舍去其他部分？这样对问题的确定达到什么程度？它会怎样变化？能否从已知数据导出些有用的东西？能否想出用于确定未知数的其他数据？

如果需要的话，能否改变未知数或已知数据，或者二者都改变，使新的未知数与已知数据更加接近？

7．是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念?

第三步：实现计划

1．实现你的求解计划,检验每一步骤.

2．你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的? 你能否说出你所写的每一步的理由？.

第四步：回顾

1． 能否检验这个论证?

2． 你能否用别的方法导出这个结果?（也就是一题多解，一个题目，想出多种解法，以此来提高思维的灵活性，从而找出更巧妙或更简洁的解法）

3． 能不能一下子把结果看出它来?

4．能不能把这结果或方法用于其他问题?（多题一解，多个题目，用相同的方法，找到众多题目的共性解题规律）

一.怎样回顾

1 ）从各个方面考虑这个解，找出与已有知识之间的联系。

2 ）考虑解的细节，并尝试使它们尽可能的简单。

3 ）研究解答中较冗长的部分，使它们更简短些。

4 ）试着一眼就看出整个解。

5 ）试着去改进解的各个部分，尝试去改进整个解，使它更直观，使它尽量自然的适合你已有的知识。

6）总结解题方法，尝试看出它的要点，并尝试把它用于其他问题。

二.引入辅助元素的理由

1） 为了能利用一个早已解决的问题。

2） 回到定义去

三.概念变换的方式

尝试从不同的观点并从各个不同的侧面观察此问题。

四.常见的毛病

1)由于思想不集中而造成的对问题了解不完整。

2)没有任何计划或总的概念，就急于进入具体的计算。

3)笨头笨脑地干等着某个念头的降临，而不去做任何事情去加速其到来。

4)为了保持我们思维的活跃，我们必须不断变换解答的对象，将问题改变，尝试着去解答。

5)如果你不能解决所提出的问题，这时别让失败影响你，应该在某个容易的问题上，寻求安慰。

批注：由于是难题，解不出来很正常，即使是数学家也会有很多难题解不出来，经过认真思考之后，如果还是没有思路，就不要继续思考了，那样其实是在磨洋工，只是在浪费时间和使自己的内心饱受挫折和煎熬罢了，完全可以直接看难题的答案。然后从难题的详细解答中，同样可以大有收获，锻炼自己的思维。数学的本质，其实很多时候，就是要靠大量的背诵和总结理解领悟能力，考验的是一个人的悟性。并非完全是一个聪明人所有的难题他都能独立解出。这种观念是错误的。（当年我也是持有这样的错误观念）另一方面，很多时候，因为很多难题其实并不是那么难，又必须独立思考，坚持独立解决这些难题，这一点后面我还会说明。很多问题都是辩证的，不可以偏执于一面，这些看似愚蠢的错误，我当年都没有想明白，也都犯过这些错误。

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