立体几何专题1：多面体与球的切、接问题
立体几何专题1：多面体与球的切、接问题
Ø方法导读
近年来,高考题中常常出现简单多面体外接球问题,此类问题能有效考查学生的空间想象能力,它自然受到命题者的青睐.简单多面体外接球问题实质上是解决球的半径和确定球心的位置问题。球经常和其它空间几何体相结合出题,以选择题或填空题出现的形式较多。
学生在高二系统的学习了立体几何,理解球的定义及多面体外接球的定义,掌握球的性质,知道球的半径能熟练应用公式求出球的体积与表面积。对简单多面体外接球有了一定的了解和把握,但学生素质参差不齐,又存在能力差异,导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本专题的教学,首先有意识地让学生归纳总结旧知识,提高综合能力,对新知识的传授,即特殊三棱锥外接球利用补体法(补全长方体或正方体)来解决,则应给足学生思考的空间和时间,充分化解学生的认知冲突,化难为易,化繁为简,突破难点。
Ø高考真题
【2017·全国I卷文·16】已知三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上,
是球
的直径,若平面
平面
,
,
,三棱锥
的体积为
,则球
的表面积为_______.
Ø解题策略
【过程分析】
本题是典型的三棱锥的外接球问题,解决这类问题首要的是建立的空间立体图形,把文字语言转化为图形,然后根据题中给出的条件推断出线面、面面、线线之间的位置关系.根据本题给出的条件可推断出
平面
,然后根据等积法转化
,在根据三棱锥的体积建立关于球的半径的方程,解方程即可得到球的半径,从而得到球的表面积.
【深入探究】
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.
(2)若球面上四点
、
、
、
构成的三条线段
、
、
两两互相垂直,且
,
,
,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用
求解.
(3)研究有一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球,可把该三棱锥补成直三棱柱
知识拓展:
(1)正方体的棱长为
,球的半径为
,
①若球为正方体的外接球,则
;
②若球为正方体的内切球,则
;
③若球与正方体的各棱相切,则
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为
,
,
,外接球的半径为
,则
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为
.
Ø解题过程
根据题意画出图形如图所示:
取
的中点
,连接
,
,
平面
平面
,
平面
,
设
,
,
球的表面积为
.
Ø解题分析
判断三棱锥的形状,利用几何体的体积,求解球的半径,然后求解球的表面积.
Ø拓展推广
(一) 球与柱体的组合体
规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
(二) 球与锥体的组合体
规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
(三) 球与球的组合体
对个多个小球结合在一起,组合成复杂的几何体问题,要求有丰富的空间想象能力,解决本类问题需掌握恰当的处理手段,如准确确定各个小球的球心的位置关系,或者巧借截面图等方法,将空间问题转化平面问题求解.
(四) 球与几何体的各条棱相切
球与几何体的各条棱相切问题,关键要抓住棱与球相切的几何性质,达到明确球心的位置为目的,然后通过构造直角三角形进行转换和求解.
(五) 与三视图相结合的组合体问题
本类问题一般首先给出三视图,然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体,根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.
综合上面的五种类型,解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体,解答时首先要找准切入点,通过作截面来解决.如果外切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作;把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题.解决这类问题的关键是抓住内接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.发挥空间想象力,借助于数形结合进行转化,问题即可得解.如果是一些特殊的几何体,如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.
变式训练1
设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为
,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )
A
B
C
D
变式训练2
已知
、
、
是球
的球面上三点,三棱锥
的高为
,且
,
,
,则球
的表面积为( )
A
B
C
D
变式训练3
一几何体的三视图如右图所示,若主视图和左视图都是等腰直角三角形,直角边长为
,则该几何体外接球的表面积为( )
A
B
C
D
变式训练4
三棱锥
的四个顶点均在同一球面上,其中
是正三角形,
平面ABC,
,则该球的体积是__________.
变式训练5
如图,在四面体
中,
平面
,
是边长为
的等边三角形.若
,则四面体
外接球的表面积为__________.
答案
变式训练1
B
根据题意条件可知三棱柱是棱长都为
的正三棱柱,上下底面中心连线的中点就是球心,则其外接球的半径为
,
球的表面积为
,故选B.
变式训练2
C
过点
作
平面
,垂足是
,由球的性质知,
是
的外心,在
中,由题设,根据余弦定理得:
,所以
是直角三角形,
,
在
上,且是
的中点,
于是,在直角三角形
中,
,
所以,
,即球的半径
球
的表面积为
,故选C.
变式训练3
B
由三视图知几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱垂直于底面,高等于1,其底面是边长为1的正方形,
四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球,所以外接球的直径为
,所以外接球的表面积为
,故答案为B.
变式训练4
是正三角形,设它的中心为
,则
平面
,由题意可知
的边长
,∴
,
作
于点
,如下图所示:
,
,设球的半径为
,则有:
, ∴
.
变式训练5
该四面体的外接球与下面的正三棱柱的外接球是同一个球,
为球心
如图所示,设
为等边三角形
的中心,且边长为
,
所以
,
,所以
,
表面积
.