论概念飘移：终于明白程碧波先生思维混乱的根源

本文为程碧波先生“三答汪涛先生及传统文化等问题”的回复。看程先生的文章，我的体会是：它可以成为“概念飘移”思维方式的最佳研究案例之一。

概念飘移是我准备最后研究的一个问题，这也是我为什么认为与程先生交流很有价值的原因所在。概念飘移是我定义的一个概念，简单来说，现在一切科学的思维都是以逻辑为基础的，而逻辑要基于三个最基本的规律：同一律、排中律、矛盾律。那么，如果把它们看作逻辑的三个基本公理的话，根据数理逻辑中公理的独立性，改变其中一个，或多个，并与其他剩下的公理一起，可以组成一个新的公理体系。当然，这个新的公理体系已经不是属于现在科学的规律范畴了。例如，改变同一律，引入非同一律，就可以形成新的非同一律逻辑公理体系。这种非同一律条件下的思维过程，我就把它称为“概念漂移”思维过程。非同一律的思维过程在过去是被否定和认为是一种错误。但是，它的确是在很多实际思维过程中存在的。并且在艺术思维过程中，很可能并不存在科学上对错的问题，甚至是一种很有价值的创造性思维过程。但是，也常常有人把这种思维直接用于科学问题，这就会导致民科思维。

这一研究具有多个方面的重要价值：

一是能研究艺术思维过程的规律是什么样的。

二是能研究民科思维是如何引入概念混乱的。

第三个可能更加诱人，虽然它本身并不是一个常规科学的思维过程，但它却可能为我们解开原创性科学思维过程的奥秘。

第四个，它是钱学森试图建立的思维科学真正有效的突破口之一。

非常感谢程碧波先生，他为我们提供了概念飘移思维过程极为丰富的实际案例。程碧波先生提供的概念漂移案例之所以非常好，是因为普通人的概念漂移可能是多个漂移同时并发，这会使分析和研究很困难。而程碧波先生是有一定科学素养的，他的概念漂移一般是在一个思维过程中只单点出现，并且发生在一般人很难看出的关键点上，而其他部分则可能是很科学和严谨的。

一、全称判断与特称判断问题

以下是程先生的论述：

“可数集：是与自然数能建立双射关系的集合”。这就是一个特称判断，只要至少列出一种方法来建立集合与自然数一一对应关系即可。

“不可数集：一个无穷集合和自然数集合之间要是不存在一个一一对应关系，那么它就是一个不可数集”。这就是一个全称判断，如果证明者给出某种一一对应关系，发现这种对应关系在A集合与自然数之间不成立，那只能得出严格结论：“A集合依照此种一一对应关系是不可数的”。

先澄清一个程先生自己用红字体现的太过混乱的表述“此种一一对应关系是不可数的”。因为前面设定了对应的集合是自然数，因此，只要是与自然数一一对应的关系就一定是可数的。我替程先生把他准确地含义表达出来是“此种映射关系不是与自然数的双射关系”。

在这里涉及三个对象：集合，集合中的元素，映射关系。

必须首先厘清楚，当说到”特称判断、全称判断“时，一定要首先明白是“称”得什么？主语是什么？集合，集合中的元素，还是映射关系？

如果是指集合，假设存在A，B，C，D，E，F，G这七个集合。如果说“这七个集合中的某些集合是可数集”，这是特称判断。如果说“这七个集合全部是可数集”，这是全称判断。

如果是指元素，说“集合A中某些元素是自然数”，这是特称判断。说“集合A中所有元素全部是自然数”，这是全称判断。

如果是指映射关系，集合A与集合B建立了七个映射关系，说“这七个映射关系中某些是三角函数”，这是特称判断。说“这七个映射关系全部是对数关系”，这是全称判断。

在可数集的定义中，定义和指称的对象是集合中元素的特性，通过对元素特性的定义，当具有这种特性时，这个元素构成的集合就是可数集，而不是在一堆映射关系中去定义某些映射关系有什么特性。程碧波先生通过将元素的全称判断漂移到映射关系上，这就导致一个非同一律的思维过程，把它漂移成特称判断了。

说不存在与自然数一一对应的关系，是说它“没有”。那么如何证明它没有呢？

可数集进行了定义以后，事实上它就等价于集合中的元素可以一个一个地列出来，并且可以这样穷尽集合中所有的元素。康托尔对角线法的证明思路就是：只要你假设它可数，它就一定不能穷尽集合中所有的元素。这已经“穷尽了一切映射的可能性”，与具体映射函数和方式没有任何关系，也不存在程先生空想的、空洞的别的映射关系问题。这与十进制还是其他进制也没有任何关系，如果你用二进制和十六进制都是完全“等价”的，只是具体构造数字的方法稍有差异而已。

只要不是可数集，它就一定是不可数集。程先生想否定这一点的说法是“完全可能存在集合，它的可数性'不可证明'，因而无法判定为可数还是不可数。”你要这么说就找一个这种集合出来，并且“严格证明它的可数性不可证明”，更确切地说，是证明它即不是可数集合，又不是不可数集合。”无法判定“这个说法是很不严格的。因为一道数学题你不会做，只是你不会做。你不能因为你不会做，就说这道题是不可能做出来的。你必须证明它是不可能做出来的。如果找不出相应的证明，这就是一种典型的通过“空洞可能性”引入概念漂移的思维方式。通过引入空洞可能性，会将概念漂移到无边无际的地步。对于这种思维方式，厘清的方法是你不要只是去谈可能性，而是你自己要把这种可能性变现，只有这样它才有意义。

二、应对程先生的一个挑战

“请汪涛先生给我们演示一下实数集合如何'不与自然数一一对应’地可数”

实数1，1.5，1.7，圆周率，根号2，……这不是数了吗？但是这样数不能穷尽实数中所有的元素，这就是不能与自然数一一对应地可数。当然，我相信程碧波先生一定有能力把其中的某个概念漂移到其他地方进一步将这个问题跑题。

三、无穷大与无限长的区别

小数点后无限长的数字是有意义的数字，小数点之前无限长的数字是无意义的数字。有意义和无意义是以它们是否属于实数集合为统一标准，而不是“双标”，这里程碧波先生又引入一个概念漂移。如同晚会上能否上去唱歌，能唱到大家都喜欢，就可以上台，大家不喜欢，就不能上台。这个标准是统一的，不能说凭什么他们能上台唱歌，程碧波老师就不能上台，这不是双标吗？只要程碧波老师能证明自己唱歌大家喜欢听，就有上台的资格。这标准是统一的。很简单，程先生你来解释一下小数点之前无限长的数字是什么，它为什么属于实数集合，这个不是仅仅要去与任何东西作对。

毕竟我们所讨论的话题是一个科学问题，而不是在进行艺术创作。希望关注实质性问题，不要再谈其他任何东西，只解释小数点之前无限长的数字是什么？因为讨论到现在事情已经很清楚了，只要这一个能解释得有意义，我们之间讨论的一切问题就全解决了，并且这也是数学真正的突破。如果程碧波先生想让这个概念漂移变成一种具有科学原创意义行为的话。如果能把这个问题解释清楚，我还是很愿意与程先生讨论，因时间关系恕不再回复其他问题了。因为陷入到概念漂移的过程，是可以将思维变成无止尽的跑题。我提到爱因斯坦和玻尔的学术讨论，是希望程先生能像他们一样只讨论具体问题，不要顺杆爬得太高、太多了。只要稍微爬一点就会导致概念漂移。

当然，程碧波先生很可能会反驳说，我们是在谈集合论问题，你自己却跑去谈概念漂移，你自己不是漂移得更远吗？我是将程碧波先生在讨论集合论中的“错误”，用更深入的、更有价值的规律来进行研究，因此它不是”从集合论问题上跑题”，而是正中“程碧波先生在谈集合论中的错误根源“。我是将问题集中到真正的核心。

交流了这么多太严肃的话题，可能有些网友已经感觉很枯燥和累了，那么上一个通过概念漂移制造段子的视频，大家体会一下。坦率地说，这个视频可能是有点跑题了，目的是让大家开心一下，但也没跑题，它是为展示概念漂移在艺术创作上的体现，以便大家更深入地理解。