如何计算前n个整数的p次幂的和？证明伯努利幂和
瑞士的伯努利家族共有八位世界著名的数学家，雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）便是其中之一。1713年，雅各布·伯努利提出了前n个整数的p次幂之和的表达式。他的解是n的（p+1）次多项式，包含的系数就是现在著名的伯努利数（在数学和理论物理的许多领域中出现的分数序列）。
图1：著名的瑞士数学家雅各布·伯努利。
这个求和被称为冯哈伯公式（ Faulhaber’s formula），其结果被伯努利以“Summae Potestatum”的标题发表，它由下面的表达式给出：
式1：前n个正整数的p次幂的和，称为冯哈伯公式。
图2：德国数学家约翰冯哈伯（1580-1635）。冯哈伯是一个博学多才的人，他在几个城市的防御工事上工作过，为军队建造过水轮和几何仪器等。
如果m从0开始，到m= n-1结束，计算会变得更整洁。总和变成：
式2
现在考虑所谓的生成函数S(n,t)，它是一个幂级数，以式1和式2中的和为系数：
式3：生成函数以式1和式2的和为系数。根据维基百科，生成函数“是一种将无穷数列编码为幂级数系数的方法”。
将式2代入式3，得到二重和：
式4
其中k是一个整数。经过一些代数步骤，我们可以用以下两个函数的乘积来重新表示式4：
式5：将式4改写为两个函数的乘积。
现在，S(n,t)的第一个因子可以用指数函数的泰勒展开式简单地写成幂级数：
式6：指数函数的幂级数展开。
式6左边减去1，两边同时除以x。要写出S(n,t)的第二项必须引入前面提到的伯努利数。式5中函数 t/(eᵗ-1) 变成：
式7：为了写出式5中S(n,t)的第二个因子，我们引入了伯努利数。
跳过几个步骤（为了避免混乱），生成函数S(n,t)变成如下复杂的表达式：
下一步是定义所谓的伯努利多项式：
式9：伯努利多项式的定义如下图3所示。
下图显示了不同伯努利数值对应的几个伯努利多项式的例子。
图3：几个伯努利数的伯努利多项式。
将生成函数S(n,t)的原始表达式与式8进行比较，利用伯努利多项式的定义，得到：
式10：我们要求的前n个整数的p次幂之和的最终表达式
注意，生成函数可以优雅地写成：
式1：用伯努利多项式和伯努利数表示的生成函数的最终表达式
在前一篇文章中伟大的数学家欧拉和他的奇妙发现——关于倒数级数的和，我推导了前5个伯努利数。它们是：
式12：前5个伯努利数。
图4：左边是日本数学家关孝一。右边是他的著作中的一页，其中他列出了二项式系数和伯努利数。
利用式9，我们得到一些伯努利多项式：
第一个伯努利多项式。
现在我们有所有需要的工具了。下面是我们所寻找的和的两个简单例子，但其他所有情况都可以简单地得到：
式14：前n个整数的p次幂和的两个简单例子。