中考数学:几何压轴题(圆)
今天这道题,挺有意思的,尤其后面两问,没有一定能力的同学估计是解不出来的,后来搜了一下试卷,发现这道题居然只是A卷的最后一道题,后面还有一面B卷,看来人家那边的中考数学确实要比本省难度多得多,所以今天给同学们分享一下。
图中的辅助线是老师在解题过程中加上的,原本是没有虚线部分的。
(1)证明切线的时候,首先要想到连接圆心和切点,所以连接OD,只要OD⊥DH就行了,因为AB=AC,
∴∠B=∠C,
又OD=OB,
∴∠B=∠ODB=∠C,
∵∠C+∠HDC=90°,
∴∠ODB+∠HDC=90°,
∴∠ODH=90°,
∴切线成立
(2)线段的比例,估计会有很多同学头疼,压根就没有线段的长度,怎么找比例呢?不得不说,每次遇到四川的题,都感觉这出题人确实太高明了。
根据圆的性质,可知∠E=∠B,所以∠E=∠C,因此DE=DC,
又DH⊥AC,∴EH=HC,等腰三角形三线合一嘛,
那么A是中点,也就是说EC=4EA,那么我们可以设EA=x,则EC=4x,AC=3x,
连AD,同理AB=AC,AD⊥BC,可得D是BC中点,
所以OD是△BAC的中位线,所以OD=0.5AC,
然后我们利用OD和AC平行,得到△EFA和△DFO相似,
所以EF:FD=EA:OD,那么EA和OD都能用x来表示,所以比值就不用多说了吧。
(3)这一问不得不说,如果是程度一般的同学,包括数学每次上不了115分的同学来说,很大可能是解不出来的,重点并不是大家想不出来,而是看同学们敢不敢往下思考。
EA=EF时,我们知道,△EFA和△BDF是相似的,而且都等腰,所以就有EF·FD=AF·BF,但是AF和DF、BF都是未知的,怎么解呢?设未知数的话,一个肯定不够吧?所以很多同学估计会在这里不敢往下思考了,毕竟多个未知数的话,计算量就又增大了。老师计算到这里的时候也差点怀疑是不是方法错了,但是很明显题中可以找到两种等量关系,二元方程是一定能解出来的。所以继续,
那我们究竟设哪个未知数呢?既然题中是问半径的,我们就设半径为r,那么BA=2r,OD=r,这里我们需要知道DE和BD、DC是相等的,这一点相信同学们不难发现,所以BD=DE=BF,那么我们再假设FA=x,则BF=2r-x,DF=DE-EF=2r-x-1,
所以EF·DF=2r-x-1,而AF·BF=x(2r-x),那么2r-x-1=x(2r
-x),暂且标记这一行为①
我们知道OD//AC,所以AF:OF=EA:OD,即x:(r-x)=1:r,所以xr=r-x,转化一下,x=r/(r+1),将x代入到①行的等式中,解得r即可。这是最直接的方法,所以计算上涉及了两个未知数。
而如果大家能够思考到更深层次上的话,由OD//AC不难发现,∠AOD=∠OAE=∠OFD,所以OD=DF,也就是说DF等于半径,同时由于BF=DE,而且二者都是半径+一个线段,所以加上的线段是相等的,也就是OF=EF=1,那么这下就更方便了,△BFD和△DOF相似吧?所以DF:BF=OF:DF,也就是DF²=BF·OF,即r²=(r+1)·1=r+1,解方程就行了。
以上两种方法对应两种不同的思维能力,至于第二种方法,如果没有写过这道题,估计很难想得那么深层次,而第一种方法,牵涉到两个未知数,会有多数同学止步。
因此,不论同学们能够利用哪一种方法解出来,都是值得称赞的。