暑假特辑2 动态GIF破解瓜豆原理3种必考题型(上)——直线型

★ 前言 ★

暑假已经正式开始，不知即将升入初三的你，准备以怎样的行动来度过这个短暂却十分重要的关键假期呢？是努力钻研，还是继续荒废，我想，还是选择前者吧！

在这个假期，积余鼎尖数学教学 公众号，将会一如既往，为不懈努力的你给予最大的帮助，同时，还会联合其他优质公众号，一起为有着不同需求的初一，初二学子，提供最好的学习机会，准备好了吗？让我们一起度过这个快乐，充实，有意义的暑假！

最近两个专题，我们主要研究动点轨迹问题，分两个板块，直线型和双曲线型，借助GIF动态演示，深入了解瓜豆原理的本质．

一、轨迹解析式

例1：

如图，△ABO为等腰直角三角形，A(－4，0)，直角顶点B在第二象限，点C在y轴上移动，以BC为斜边作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点D点随着C点的移动也在一条直线上移动，这条直线的函数解析式是_________

分析：

这是本地区2015年一道八年级上学期的期末填空压轴题，在初二上学期就出现轨迹类问题，可以说是非常早了．那么这道题该怎么解呢？我们先来看看当时的解法．显然，由于题目已经明确给出点D的轨迹是一条直线，那么，可以采用特殊值法来考虑，选取两个特殊位置的点C，确定相应的点D的坐标，两点确定一条直线即可．

当然，本题要分两种情况，点D在BC上方，和点D在BC下方．

解答：

反思：

题目解完了，但你肯定会问，为何点D的轨迹是一条直线呢？

我们先来用动态图验证：

我们发现，两种情况下，点D的确都在直线上运动，能用瓜豆原理来解释吗？

何为瓜豆原理？，其实是网络上各位大神取的，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”！

下面就具体来解释下瓜豆原理的由来：

由此可见，在旋转放缩过程中，

从动点和主动点的轨迹是一致的！

即所谓“种瓜得瓜，种豆得豆”也！

而本题若用一般方法求解，也不难，构造一线三直角全等可破．

解答：

二、路径长

例2：

如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB向终点B运动，以DE为边作正方形DEFG(点D、E、F、G按顺时针方向排列)．求在点E的整个运动过程中，点F经过的路径长．

分析：

解答：

当点E与A点重合时，点F在点B处：

当点E与B点重合时，点F的位置如下图所示，

点F运动的路径为BF；

动态图演示：

三、最值

例3：

如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)，点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为__________.

分析：

点B为主动点，点C为从动点，根据瓜豆原理，BA绕点A逆时针旋转60°到CA，主动点B的轨迹是y轴的正半轴，则从动点C的运动轨迹为y轴正半轴绕点A逆时针旋转60°后的射线，我们可以用特殊位置来考虑．当OC⊥点C轨迹所在射线时，OC最短．

当然，我们也可以构造手拉手模型，将OC边转化，详细过程请见方法2．

解答：

法1：

法2：

动态图演示：

下面还有

如

何

关

注

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本讲思考题