教学中“没看见”的部分有多少

张宏伟

我们需要重新认识教材，教材里通常有一些我们看不见的内容。在小学数学教材里，这样的四边形没看见（图1、2），这样的空间四边形也没看见（图3、4），这样的对称四边形也没看见（图5）……

这些都是我们在教材和日常教学中没看见的内容。其实，不止于内容，我们没看见的还有许多方面……

不少数学知识，我们只看见了它的“现在”，没看见它的“历史”与本源。比如，我们都知道毫米、厘米、线段、闰年、函数等概念，但是毫米为什么叫毫米？厘米为什么叫厘米？闰年为什么叫闰年？为什么创造函数这个概念时，用这个“函”？

我曾引导学生通过查阅《汉语词典》发现概念背后的秘密：“毫”的第5个义项是“千分之一”。原来毫米就是千分之一米，毫升就是千分之一升，毫克就是千分之一克，毫安就是千分之一安……“厘”的第1个义项是“百分之一”。原来厘米就是百分之一米。由此，学生不仅知道了概念的由来，更理解了进率和换算。

“段”的意思是“一部分”，线段的意思是“直线的一部分”。“闰”的本义是“余数”，闰年就是有多余的那一天的那一年。

而函数源自中国近代数学家李善兰。函是含的通假字，函数就是含数，一个式子中含有一个变数（变量、变化的元素），式子sinα，α是一个变量、一个变数，所以这个式子是个函数，因为它是研究三角形的，所以它是三角函数。

不少数学知识，我们只看见“这里（样）”，没有看见“那里（样）”。我在教学中会让学生品味西方文化里的周长parimeter，其词根pari表示“环绕、周围”，meter表示“测量、米数”，合起来：环绕周围测量米数；中国文化里的周长，周是“周围、一圈”，长是“长度”，合起来就是“周围一圈的长度”。

品味射线half-line，half是一半，line是直线，原来射线是半直线。品味小数Decimal中，Deci是十分之一，mal是微小的、不足的，原来Decimal的意思是：小数是从1开始，十分之一、十分之一地变小的数（1→0.1→0.01 → 0.001→0.0001→……）。

所以，“全景式数学”正在着力引领学生游历中外，博览广采，追根溯源，让学生在东西方文化之根中尽情穿行……

我们往往只看见传统数学，却没看见非传统数学，没看见与时俱进的数学。美国数学家怀尔德说：“研究生阶段的课程一般都是与时俱进的，然而中小学仍在教授着中世纪的数学，直到现在才受到挑战。”值得深思和追问的是：我们的中小学数学课程是否受到了挑战？我们做好了应对挑战的准备了吗？

在大模块整合、节约出一定学时的基础上，为了让学生完整认识世界，我从“必须”“能学”且“喜欢”这几项标准，补充了1到6年级非传统数学内容，分“非欧几何、模糊数学、逻辑初步、运筹初步”四线阶梯式循环推进。我会让一年级孩子“看见”转拓（图6），二年级孩子“看见”分形（图7、8），三年级孩子“看见”“黎曼”（图9、10、11），四年级孩子看见“罗氏”（图12），五年级的孩子看见莱洛三角形（图13-14）……

我的学生见过“分形”，便能用“分形”看这个世界；见过“黎曼”，便能用“黎曼”看这个世界；见过“拓扑”，便能用“拓扑”看这个世界；见过“莱洛”，便能用“莱洛”看这个世界……

需要强调的是，补充这些给孩子“开窗”的内容切忌盲目求全求新，要根据学生学习的实际情况适度、适时、适量丰富和拓展；要在整合课时、保证高效落实课标规定的基本内容基础上科学分析，确保学生完整认识世界和完整成长需要、当下能学且喜欢的前提下，系统规划，适切设计，量力而行，不能增加学生的课业负担。

我们往往只看见了常规的学，却没有看见不常规的学。我们可以看以下两个案例。

案例1：三角形面积，我们内陆常规学法是这样的。用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。香港地区这样学（图15-17）：用长方形剪除直角三角，推出直角底乘高除以2；把平行四边形沿着两条对角线分别剪出锐角三角形和钝角三角形，推出它们的面积也是底乘高除以2；由此，我们可以推出：所有的三角形面积都是底乘高除以2；简单明了，很容易理解和掌握。

案例2：三角形外角和，我们常规的学法是这样的。

1.测量每个外角相加。

2.这样证明：

设n边形内角为：∠1、∠2、∠3…∠n

对应外角为：180°-∠1、180°-∠2…180°-∠n

外角之和为：（180°-∠1）+…+（180°-∠n）=n×180°-（∠1+…+∠n）=n×180°-（n-2）×180°=2×180°= 360°

日本还这样学：让学生沿着多边形场地开车（图18-20），学生通过开车发现“无论是几边形场地，车子每次转动的都是一个外角，车子回到原点，正好打了一圈——360度”，有了亲身体验，不证自明。

除了常规的学，全景式数学还尝试“跨学科学”，用文字、文学、文化演绎数学。我带领学生在“创作和音”中学习按比例分配，在杠杆中玩乘法口诀，在天文学、医学、地理学、生物学的融合中认识时间。

我引导学生看见：一年365天→人体365个穴位；一年12个月→12星座（24个节气）→12进制→人体12经络。看见阴历每月28天→28星宿→东西南北四区→每区7天。这正是星期的由来，7意味着人体的“七窍”，意味着我们与月球的域位关系……

我们往往只看见了数学的精确和综合，没看见数学的浪漫。全景式数学教育主张数学课程和教学要补上浪漫阶段，并创编了浪漫阶段课程。对此，北京师范大学中国教育创新研究院院长刘坚在给我的新书《一样的数学，不一样的教学》的序言中这样写道：“如果说，最近20年我国小学数学教育有什么重要突破，最主要的是体现为教育工作者儿童意识的觉醒，大家普遍开始关注学生的学习体验；另一方面，如果说迄今为止我国的小学数学教育还存在什么急待突破的瓶颈，我想最大的问题依然是没有充分尊重儿童阶段，尤其是小学生发展的浪漫属性。这个问题不仅存在于学校，家长、社会、教育政策制定者也普遍如此。也正因为如此，宏伟老师的探索更显得珍贵和重要。”

我们往往只看见让学生“门内”的数学，没有看见“找门”的数学。现行教材和教学都是让学生用“等底等高的圆柱和圆锥”去研究圆锥体积。如果学生问：老师，你是怎么知道用等底等高的圆柱和圆锥来研究的呢？是你自己想到的吗？老师也不是自己想到的，是教参上看的，跟别人学的。

其实，解决这个问题最关键的一步是：如何让学生自己独立想到要用等底等高的圆锥和圆柱去比对。这才是解决问题的起点，是解决新问题和创新的不二法门。但是，这个关键的门，教材和教师大多直接给了孩子，长此以往学生面对全新的情境和问题时，就很难自己独立解决了。

全景式数学变“师傅领进门”为“学会自己找到那扇门”。我补上了“找门”的阶段和策略：用联系的思想，寻找联系最密切的已知去探索未知。而这种思想和方法是更上位、更一般的，并能有效移植到全新领域中创造性解决问题。

不止于此，全景式数学从10个维度完整、完善数学“思考”课程的编织和思考教学的设计实施。我的理想是：努力让学生自觉关注和思考“思考”，看见自己如何思考，看见别人如何思考，学会更好独立思考、创新和创造。

我们往往只看见学习数学的外在，没看见学习数学的内在。全景式数学不仅把“情感态度”目标提到第一位，优先捍卫儿童对数学、对世界的兴趣、好奇心和信心，还引进了数学心理、元认知课程，让学生也尝试学会内察、监控和调节自己的学习情感、学习心理和认识自己对认知的认知。我坚信，数学是可以滋养人的——我们应该“让数学学习成为养知、养智、养身、更养心的活动”。

“数学”中没有看见的仅是这些吗？难道只有数学有这么多的“没看见”吗？这是一个值得我们进一步去深思、去追问，并努力去建设的问题。

回到真实的教学中，当我们的学生看见这些“没看见”时，他们的感受是什么呢？我在吉林大学附中力旺实验学校上课时，曾记录下这样的师生对话：

生1：以前感觉自己知道了很多，上了张老师这节课之后感觉还有更多自己不知道的，以后要自己去研究、挖掘。

生2：在上您这节课之前，我一直认为书本就可以涵盖一切，现在与以前比有改变了，我现在认为书本不能涵盖一切，就像今天的课一样。

师：孩子，你读的那本数学书并不是整个数学世界，你读的那本数学书只是数学的一部分，数学世界要比那本数学书广阔得多。

我当时热泪盈眶，课后教研时我说：当教师都不敢越教材这个雷池一步的时候，我们孩子的数学眼光能够打开吗？我觉得这个孩子可以警醒我们每一位教师。你那一本英语书是他的英语语言世界吗？你那本科学教材是他整个科学的世界吗？你们学校的学科课程是孩子整个学习的世界吗？

全景视野下的课程和教学就是想让学生看见不一样的学习，看见完整的教材，看见完整的学科，看见不一样的数学，看见世界的数学，看见更丰富、更完整的世界！因为孩子只有看见文化，才会成为文化的人；看见完整，才会成为完整的人；看见世界，才会成为世界的人；看见未来，才会成为未来的人；看见美好，才会成为美好的人……

（作者系特级教师、江苏省南京市赫贤学校学术总监）

（中国教师报）