“数学帝”葛大爷在毕业典礼上荐书
今年6月，在南京师范大学附属中学的高三毕业典礼上，人称“数学帝”的校长、令无数学子“闻名腿软”的资深高考命题人葛军硬核推荐了一本名叫《微积分的力量》的书，他说道：
“推荐同学们深入阅读《微积分的力量》这本书，不论你的兴趣是倾向人文还是倾向科技经济等等，在书中你可以感知微积分这一基本思维方式以及基本工具，对于你的未来的重要性。”
图源：荔直播
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《微积分的力量》作者、美国应用数学家史蒂夫·斯托加茨认为，微积分的基本定理是一份珍贵的礼物，而许多人对这份礼物视而不见。就像那个古老的笑话——鱼问它的朋友：“你难道不感激水吗？”另一条鱼反问道：“水是什么？”
为了让普通读者知道“水是什么”，斯托加茨决定创作这样一部科普读物，不要求读者掌握如何计算微积分，而是试图讲清楚微积分来源于哪里？它能做什么？又将去向何方？一个最初与图形有关的理论为什么会改变人类的文明？事实证明，《微积分的力量》非常成功地完成了这样的目标。
《微积分的力量》
中信出版·鹦鹉螺
2021年1月
微积分，一种哲学
01
无穷——切分和重组的艺术
提起微积分，一定绕不开的就是牛顿和莱布尼茨。很多人认为，这两位数学家及其继任者的研究成果就是微积分的全部，但斯托加茨认为这种观点过于狭隘。
牛顿（图源网络）
莱布尼茨（图源网络）
他眼中的微积分以它的信条来定义：在解决关于任意连续体的难题时，先把它切分成无穷多个部分，然后一一求解，最后通过把各个部分的答案组合起来去解决原始的难题。他把这个信条称作无穷原则。
通过无穷原则，微积分将复杂的难题简单化，它成功的方法是，把复杂的问题分解成多个更简单的部分。当然，这种策略并不是微积分独有的。所有善于解决问题的人都知道，当难题被分解后，就会变得更容易解决。
微积分真正不同凡响和标新立异的做法在于，它把这种分而治之的策略发挥到了极致，也就是无穷的程度。它不是把一个大问题切分成有限的几小块，而是无休无止地切分下去，直到这个问题被切分成无穷多个最微小并且可以想象的部分。
之后，它会逐一解决所有微小的问题，这些问题通常要比那个庞大的原始问题更容易解决。此时剩下的挑战就是把所有微小问题的答案重新组合起来，这一步的难度往往会大一些，但至少不会像原始问题那么难。
因此，微积分可分为两个步骤：切分和重组。用数学术语来说，切分过程总是涉及无限精细的减法运算，用于量化各部分之间的差异，这个部分叫作微分学。重组过程则总是涉及无限的加法运算，将各个部分整合成原来的整体，这个部分叫作积分学。
《微积分的力量》外封
02
假设——魅力与风险的交织
无穷是一个创造性的假设，它突破了我们在日常生活中的感性认知。比如，我们绝不会将汤和钢铁看作是连续的事物，而微积分则选择性地忽略了事物的不可切分性，为了便利假设了连续性。
大胆的假设往往伴随着着无限的魅力和巨大的风险，“无穷”也不例外。当多边形的边数不断逼近实无穷，最终得到的边长无限短的无穷多边形真的是一个圆吗？这种想法颇具吸引力，因为到那时多边形会变得光滑，它的所有角都被磨平了，看上去一切皆完美，许多难以解决的问题仿佛也将迎刃而解。
然而，由于太反常理，在理解“无穷”的过程中，我们常常陷入绝望。比如“墙之迷”问题：
“墙之迷”
如果你走过了你和墙之间距离的1/2，再走剩下距离的1/2，接着走剩下距离的1/2……，你最终能到达墙根吗？
《微积分的力量》内文插图
答案显然是否定的，因为墙之谜明确规定，你每次只能走你和墙之间距离的1/2，而不是全部。不管你走了10 次、100万次还是多少次，你和墙之间总会有间隙。
然而，任何接近“墙根”的过程都像一位英雄在进行无止境的探索。这并非徒劳无功之举。当某个数学过程朝着某个极限逼近时，就好像故事的主人公正在为一个他明知道不可能实现但仍抱持着成功希望的目标而努力奋斗，这种希望是由他在竭力接近目标的过程中取得的稳步进展激发产生的。
关于无穷的另一个有名的悖论是芝诺的“飞矢悖论”：
“飞矢悖论”
如果空间和时间是离散的，飞矢就未曾移动，因为在每一个瞬间（一个时间像素），飞矢都在某个确定的位置（一组特定的空间像素）上。由此可以推断，在任何给定的瞬间，飞矢都是静止不动的。它也不会在两个瞬间之间移动，因为根据假设，两个瞬间之间是没有时间的。所以，飞矢从未移动。
古希腊哲学家芝诺（图源网络）
在这个悖论的2000年后，微分学的创立者解开了瞬时速度之谜。他们直观的解决方案是，将瞬时速度定义为一个极限，具体来说，就是在越来越短的时间间隔内平均速度的极限。斯托加茨以博尔特的的世界纪录为例，详细解析了这一问题。
《微积分的力量》内文插图
大胆假设、时刻警惕、小心求证——这不仅在微积分领域适用，在数学学习甚至日常生活中，都是通向成功的道路。在对微积分的了解中，我们能更加生动和深切地感受到这一点。
微积分所成就的现实
《微积分的力量》内文
01
微积分与计算机动画
我们大概很难将枯燥的微积分课本与《海底总动员》等动画电影联系起来，但事实上，这些动画的诞生无一不依赖于微积分的计算。
动画电影《玩具总动员》（图源网络）
这些人物是如此栩栩如生，以至于我们沉浸在剧情中，将他们当作真实存在的人物看待，与他们同欢喜、共悲伤，这都来源于阿基米德在两千多年前的洞见：任何平滑表面都可以令人信服地用三角形来逼近。
我们使用的三角形越小和越多，逼近效果就越好。正如阿基米德用无穷多个三角形碎片来代表光滑的抛物线弓形，今天梦工厂的动画师用几万个多边形创造出史莱克23圆滚滚的肚子和可爱的喇叭状小耳朵。在创作史莱克与当地暴徒搏斗的场景时，每一帧都要用到不少于4 500万个多边形。但在成片中，它们又毫无踪迹可寻。
动画电影《怪物史莱克》（图源网络）
02
牛顿微积分与《独立宣言》
在《微积分的力量》引言中，最让人疑惑的就是作者自信的宣称，如果没有微积分，我们甚至会无缘于《独立宣言》。《独立宣言》能与微积分有什么关系呢？
图源网络
实际上，牛顿绘制了世界由数学主宰的图景，它产生的深刻影响远远超出了科学领域。在人文领域，它在威廉·布莱克、约翰·济慈和威廉·华兹华斯等诗人的浪漫主义诗作中起到了陪衬作用。
牛顿在哲学界受到了更热情的欢迎，他的思想影响了伏尔泰、大卫·休谟、约翰·洛克和其他启蒙思想家，他们被理性的力量和牛顿的钟表宇宙体系（受因果关系驱动）的解释性成功所吸引。牛顿的经验演绎法以事实为基础，以微积分为动力，扫除了早期哲学家的先验形而上学方法。在科学领域之外，牛顿的思想还在从决定论和自由到自然律和人权等所有启蒙观念上留下了印记。
美国的第三任总统和《独立宣言》的起草者托马斯·杰斐逊就是牛顿的一位“粉丝”，他将对牛顿原理的迷恋带到了他感兴趣的农业上，也贯穿到了《独立宣言》的始终，这份美国历史上最重要的文件的修辞结构和逻辑链条深深打下了牛顿的烙印。微积分也超越了本身，改变了人文。
《独立宣言》（图源网络）
物理学家理查德·费曼说：“微积分是上帝的语言。”
理查德·费曼（图源网络）
我们的宇宙是高度数学化的，似乎存在着某种类似宇宙密码的东西，即一个能让万物时时处处不断变化的操作系统。而微积分利用了这种规则，并将其表述了出来。
而我们的日常生活也是数学化的，手机、导航、电视、音乐，一切你能想到的东西，背后皆有数学的身影。微积分确实像“水”一样，是我们时刻生活于其中却又常常忽略的。
但谁又离得开水呢？