小学数学质数、合数和分解质因数,10道例题,给你最全面的分析!

基本概念和知识
1.质数与合数
一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。
一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。
要特别记住:1不是质数,也不是合数。
2.质因数与分解质因数
如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例:把30分解质因数。
解:30=2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12=2×2×3=22×3,2、3都叫做12的质因数。
例题分析
例题1 三个连续自然数的乘积是210,求这三个数. 
解:210=2×3×5×7
可知这三个数是5、6和7。
例题2 两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少?
解:把40表示为两个质数的和,共有三种形式:
40=17 23=11+29=3 37。
17×23=391>11×29=319>3×37=111。
所求的最大值是391。
答:这两个质数的最大乘积是391。
例题3 自然数123456789是质数,还是合数?为什么?
解:123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外,至少还有约数3,所以它是一个合数。
例题4  连续九个自然数中至多有几个质数?为什么?
解:如果这连续的九个自然数在1与20之间,那么显然其中最多有4个质数(如:1~9中有4个质数2、3、5、7)。
如果这连续的九个自然中最小的不小于3,那么其中的偶数显然为合数,而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5,因而5是这个奇数的一个因数,即这个奇数是合数.这样,最多其中4个奇数都是质数。
综上所述,连续九个自然数中至多有4个质数。
例题5  把5、6、7、14、15这五个数分成两组,使每组数的乘积相等。
解:∵5=5,7=7,6=2×3,14=2×7,15=3×5,
这些数中质因数2、3、5、7各共有2个,所以如把14
(=2×7)放在第一组,那么7和6(=2×3)只能放在第二组,继而15(=3×5)只能放在第一组,则5必须放在第二组。
这样14×15=210=5×6×7。
这五个数可以分为14和15,5、6和7两组。
例题6  有三个自然数,最大的比最小的大6,另一个是它们的平均数,且三数的乘积是42560.求这三个自然数。
分析 先大概估计一下,30×30×30=27000,远小于42560.40×40×40=64000,远大于42560.因此,要求的三个自然数在30~40之间。
解:42560=26×5×7×19
=25×(5×7)×(19×2)
=32×35×38(合题意)
要求的三个自然数分别是32、35和38。
例题7  有3个自然数a、b、c.已知a×b=6,b×c=15,
a×c=10.求a×b×c是多少?
解:6=2×3,15=3×5,10=2×5。
(a×b)×(b×c)×(a×c)
=(2×3)×(3×5)×(2×5)
a2×b2×c2=22×32×52
(a×b×c)2=(2×3×5)2
a×b×c=2×3×5=30
在例7中有a2=22,b2=32,c2=52,其中22=4,32=9,52=25,像4、9、25这样的数,推及一般情况,我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。
如.12=1,22=4,32=9,42=16,…,112=121,122=144,…其中1,4,9,16,…,121,144,…都叫做完全平方数.
下面让我们观察一下,把一个完全平方数分解质因数后,各质因数的指数有什么特征。
例如把下列各完全平方数分解质因数:
9,36,144,1600,275625。
:9=32 36=22×32 144=32×24
1600=26×52 275625=32×54×72
可见,一个完全平方数分解质因数后,各质因数的指数均是偶数。
反之,如果把一个自然数分解质因数之后,各个质因数的指数都是偶数,那么这个自然数一定是完全平方数。
如上例中,36=62,144=122,1600=402,275625=5252。
例题8  一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。
分析 a与1080的乘积是一个完全平方数,
乘积分解质因数后,各质因数的指数一定全是偶数。
:1080×a=23×33×5×a,
又1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数,
a必含质因数2、3、5,因此a最小为2×3×5。
1080×a=1080×2×3×5=1080×30=32400。
答:a的最小值为30,这个完全平方数是32400。
例题9  问360共有多少个约数?
分析 360=23×32×5。
为了求360有多少个约数,我们先来看32×5有多少个约数,然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23,即得到23×32×5(=360)的所有约数.为了求32×5有多少个约数,可以先求出5有多少个约数,然后再把这些约数分别乘以1、3、32,即得到32×5的所有约数。
解:记5的约数个数为Y1,
32×5的约数个数为Y2,
360(=23×32×5)的约数个数为Y3.由上面的分析可知:
Y3=4×Y2,Y2=3×Y1,
显然Y1=2(5只有1和5两个约数)。
因此Y3=4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。
所以360共有24个约数。
说明:Y3=4×Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数,也就是其中2的最大指数加1,也就是360=23×32×5中质因数2的个数加1;Y2=3×Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数,也就是23×32×5中质因数3的个数加1;而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数,即23×32×5中质因数5的个数加1.因此
Y3=(3+1)×(2 1)×(1 1)=24。
对于任何一个合数,用类似于对23×32×5(=360)的约数个数的讨论方式,我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论:
一个合数的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加1的连乘的积。
例题10  求240的约数的个数。
解:240=24×31×51,
240的约数的个数是
(4+1)×(1 1)×(1+1)=20,
240有20个约数。
请你列举一下240的所有约数,再数一数,看一看是否是20个?
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