《二重积分的概念与性质》内容小结、题型与典型题

一、曲顶柱体

曲顶柱体：是以一个有界的平面区域D为底，以区域的边界∂D为准线，垂直于底的直线为母线的柱面为侧面，曲面为顶的柱体。一般取底面Ｄ所在平面为xOy坐标面，母线指向曲顶一侧的方向为z轴正向构建空间直角坐标系。

二、二重积分的建模思想与模型构建步骤

(1) 建模思想：分割取近似，作和求极限

(2) 模型转换

公式中△σ_k表示小区域面积，括号中△σ_k表示区域。

三、二重积分的几何意义与物理意义

几何意义：(1) 当f(x,y)=1，则表示积分区域D的面积；

(2) 当f(x,y)≥0，则表示以积分区域D为底，以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面为侧面，顶为z=f(x,y)的曲顶柱体的体积.

物理意义：当f(x,y)>0，则表示面密度为ρ=f(x,y)，占有平面区域D的平面薄片的质量.

【注】积分的意义根据被积函数，或者模型描述的背景不同而有不同实际意义.

四、二重积分存在定理

定理1：若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上可积。

定理2：若函数f(x,y)在有界闭区域D上除去有限个点或有限条光滑曲线外都连续，则f(x,y)在D上可积。

五、二重积分的积分性质

性质1 (线性运算性质)设函数f(x,y),g(x,y)在有界闭区域D上可积，α,β为实常数，则有

【注】在应用中，利用线性运算性质可以拆分积分；利用逆运算，也可以将多个积分合并为一个积分。即同一区域上的两个不同函数的积分和，可以合并为被积函数的和在该积分区域上的积分。

性质2 (对积分区域的可加性)将有界闭区域D分成除边界外互不重叠的两个闭子区域D₁和D₂，若函数f(x,y)在区域D上可积，则有

性质3 (保序性) (1) 若函数f(x,y)在有界闭区域D上可积且非负，则

(2) 若函数f(x,y),g(x,y)在有界闭区域D上可积，且在D上有f(x,y)≤g(x,y)，则

特别有绝对值不等式

性质4 (估值定理)若函数f(x,y)在有界闭区域D上可积，且存在常数m和M使得在D上成立m≤f(x,y)≤M，则有

其中A为区域D的面积．

若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续且非负，D₁为D的闭子区域，则有

性质5(积分中值定理)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则至少存在一点(ξ,η)∈D，使得

其中A为区域D的面积．f(ξ,η)为区域D上函数f(x,y)的平均值.

性质6(偶倍奇零)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续.

●如果D关于x轴对称，记其x轴上方区域为D₁，则有

●如果D关于y轴对称，记其y轴右侧区域为D₁，则有

●如果积分区域D关于原点对称，f(x,y)为x,y的奇偶函数，则二重积分

其中D₁为D的上半部分．

【注】以上性质就是“偶倍奇零”的计算性质，注意使用时，积分区域的对称性与被积函数的奇偶性之间要匹配。即积分区域关于x轴对称，被积函数关于y变量有奇偶性；积分区域关于y轴对称，被积函数关于x变量有奇偶性，则积分偶倍奇零。

性质7(轮换对称性)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，积分区域关于直线y=x轴对称，直线y=x轴下方部分记作D₁，直线y=x轴上方部分记作D₂，则有

【注】积分区域具有轮换对称性除了图形上直观进行判定外，可以考察描述积分区域的边界曲线方程，或者不等式，如果轮换它们的变量，即将所有描述区域的表达式中的所有x换成y，y换成x，表达式不发生变化，或者说描述的区域不变，则积分区域具有轮换对称性，被积函数轮换积分变量积分值不变.

六、不计算借助于二重积分性质来比较积分大小

问题类型1：积分区域相同，被积函数不同，通过分析被积函数的特征与彼此间的关系，比较同一积分区域上被积函数的大小，借助积分的保序性来比较积分的大小。

问题类型2：被积函数相同，积分区域不同，通过分析积分区域的特征及相互关系，借助积分对积分区域的可加性和保序性来比较积分的大小。

七、用二重积分中值定理求解问题特征

如果问题中包含二重积分模型，同时条件或者结论中还包含有积分区域的面积或被积函数表达式，则该问题可以考虑使用二重积分中值定理来求解。二重积分中值定理架起了二重积分与被积函数之间的桥梁，使得二重积分可以用被积函数直接描述，也即使得某些二重积分的问题可以转换为被积函数来讨论。

参考课件节选：