三谈“构造方程法”
——根据“勾股定理构造方程”王 桥关于“构造方程法”，是一个老而弥新的话题。因为我都不记得从什么时候听说过这个名词了——这也许是个“司空见惯”但又“熟视无睹”的问题，当然，也更可能是个诸位大咖都“不屑一顾”的问题。虽然从教近30年来，也算比较努力，但关于“构造方程法”的文章却很寥寥。偶有几篇，却总感觉不是老王心中所期待的——也许自己还有点闭门造车、孤陋寡闻吧！能够斗胆说“构造方程法是初中数学最大的通法”其实也是自己多年的积累与感悟得出的结论——虽然略显“狂妄”，但足见此法在老王心目中的地位。所以在《春季攻势》和《冲刺十招》中都开辟有专门专题，并且在2019年12月份的“一轮备考研讨会”上，自己不得不避重就轻，讲的也是这个专题。关于“构造方程法”，也曾断断续续的推送过一些文章，虽然不能称其为什么系统，但如果能够放在一块读，我想我们可能会有更多的共鸣。《春季攻势》第三讲“构造方程法”方法三——“根据相关定理构造方程”提到，最常用的有三个定理：一是根据勾股定理构造方程；二是根据根据相似三角形的对应边成比例构造方程；三是根据锐角三角函数构造方程。今天咱们说说“根据相关定理及定义构造方程”之——根据勾股定理构造方程。以前曾经在一篇文章中也说到这样一句有点“狂妄”的话：初中数学半几何，初中几何半勾股”。因为勾股定理直接反映了直角三角形三条边之间的数量关系，而初中几何中绝大多数的数量关系又都是与线段有关的数量关系——求线段的长、求线段长的最值、求线段的和差积商式的值、求线段的和差积商式的最值......周长是线段的和式，面积是线段的乘积式......概莫能外。而凡是涉及求线段的题目，绝大多数的题目是都可以用“勾股定理构造方程”来解决的。根据勾股定理构造方程，最常见的基本模型有：1、勾股定理的基本模型如图1.若∠C=90°，则AC2+BC2=AB2.
也许你会不屑一顾的说：这不是勾股定理吗？是的！但是千万不要小瞧了这个基本模型，这才是勾股定理构造方程的第一个层级——把已知线段和未知线段集中到一个直角三角形的三条边上，“根据勾股定理构造方程”才是勾股定理的精髓！也是老王说的“初中几何半勾股”的灵魂所在！一是初中数学的绝大多数几何题目都离不开“勾股定理”，二是运用“勾股定理”的绝大多数几何题目都离不开这个基本图形（别急，后面有题目印证）......2、“背靠背型”
如图2，△ABC中，若CD⊥AB于点D，则AC2-AD2=BC2-BD2.3、“母子型”
如图3，△ABC中，若CD⊥AB于点D，则AC2-AD2=BC2-BD2.4、共斜边同侧型
如图4，△ABC中，若∠D=∠C=90°，则AD2+BD2=AC2+BC2.5、共斜边异侧型
如图5，△ABC中，若∠D=∠C=90°，则AD2+BD2=AC2+BC2.例1、（2019山东青岛）如图6，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为 cm．——选自《冲刺十招》第2讲“无中生有话'构造’”
【解析】：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝2√5．根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝2√5﹣4．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（2√5﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，[所以（2√5﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22，]解得x＝2√5﹣2．]则FC＝4﹣x＝6﹣2√5．故答案为6﹣2√5．评析：本题中求根据勾股定理直接求AE是比较好理解的，但是根据勾股数定理“共斜边异侧型”构造方程才是最关键的。例2、如图7，将边长为8 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，求线段CN、AM、MN的长。——选自《春季攻势》第3讲“构造方程法”
【解析】：（1）由题意设CN=xcm，则EN=（8-x）cm，又∵CE=DC=4cm，∴在Rt△ECN中，EN2=EC2+CN2，即（8-x）2=42+x2，解得：x=3，即CN=3cm．（2）如图8，连接ME ,设AM=FM=y，则MB=8-y。在Rt△FME和Rt△BME中，则有FM2+FE2=BM2+BE2，即y2+82=(8-y)2+42，解得y=1，即AM=1cm；
（3）作MP⊥CD于点P，则DP=AM=1cm，MP=8cm，PN=4cm，∴MN=4√5cm。评析：本题中在Rt△ENC中求CN是直接根据勾股定理构造方程，而求AM则是根据“共斜边同侧型”构造方程来解决，比运用相似构造方程要简单的多。其实，这两道题目，都还是比较常规的。因为题目中已经有了“垂直”和“直角”，一定要有运用勾股定理构造方程的意识。还有许多情况下，需要我们“主动”“做垂直”，“构造直角三角形”，然后才能运用“勾股定理构造方程”。譬如例2的第3问求MN和线面的例题：例3、（2015哈尔滨）如图9，点D在△ABC的边BC上，∠C+∠BAD=∠DAC，tan∠BAD=4/7，AD=√65，CD=13，则线段AC的长为 ．——选自《春季攻势》第15讲“辅助线秘籍1”
【解析】如图10，作∠DAG=∠BAD，作DF⊥AB于点F，DE⊥AG于E，∵∠BAD+∠C=∠DAC，所以∠GAC=∠GCA，因为tan∠BAD=4/7，AD=√65，∴DE=DF=4，AF=AE=7，设GE=x，则AG=CG=7+x，DG=6-x，在直角△DEG中，（6-x）2=x2+42,解得x=5/3，则DG=13/3，GC=26/3。作AH⊥BC于H。根据面积法构造方程，则有：AH·DG=DE·AG，即13/3AH=4×26/3，解得AH=8.在Rt△AHG中，∵AH2+HG2=AG2，则HG=10/3，∴HC=HG+CG=10/3+26/3=12，在Rt△AHC中，因为AH2+HC2=AC2，∴AC=4√13。
你也许会发现，对于例3，你有可能会有更简单的方法来求解，这也是咱们下一讲要提到的构造方程法的策略——“宁相似，勿勾股”——运用“相似三角形的对应边成比例构造方程”。但，“根据勾股定理构造方程”仍然是“运用定理构造方程”最重要的策略。注：1、关于《春季攻势》的“构造方程法”，欢迎大家查阅本公众号的相关文章，或者点击下面链接，指导一下老王在2月16号的公益讲座——《春季攻势》第3讲“构造方程法”的视频：https://m.weishi100.com/mweb/single/?id=22221232、关于《春季攻势》的网络课程安排如下：第一阶段：中考数学一轮培优系统——《春季攻势》，共设计17讲34课时。一轮培优系统重在帮助学生在梳理知识，建立知识网络的同时，建立起学生的思想方法系统。具体上课内容及时间安排如下：日期上课时间讲次授课内容12月8日18:30——20:30第15讲辅助线秘籍（1）22月10日18:30——20:30第16讲辅助线秘籍（2）32月12日18:30——20:30第17讲几何最值42月14日18:30——20:30第7讲代数最值52月16日18:30——20:30第3讲构造方程法62月22日18:30——20:30第1讲探究规律72月23日18:30——20:30第2讲方程及其应用82月25日18:30——20:30第4讲不等关系92月28日18:30——20:30第5讲解决函数问题的通法103月1日18:30——20:30第6讲解决函数问题的特法113月6日18:30——20:30第8讲全等三角形与特殊三角形的存在性123月13日18:30——20:30第9讲四边形与折叠133月20日18:30——20:30第10讲相似与位似图形143月27日18:30——20:30第11讲一线三等角与手拉手模型154月3日18:30——20:30第12讲对角互补与半角模型164月5日18:30——20:30第13讲直角三角形与锐角三角函数174月10日18:30——20:30第14讲圆与辅助圆第二阶段：中考数学二轮培优系统——《冲刺十招》，共设计10讲20课时。二轮培优以解题思想方法和解题策略专题为主，重点帮助学生在一轮的培优的基础上，逐渐建立学生的能力系统。具体课程安排如下：日期上课时间讲次授课内容14月17日18:30——20:30第1招绝境逢生用特值24月24日18:30——20:30第2招无中生有话构造34月30日18:30——20:30第3招触类旁通话类比45月2日18:30——20:30第4招面面俱到要分类55月8日18:30——20:30第5招胸有成竹会建模65月15日18:30——20:30第6招曲径通幽需转化75月22日18:30——20:30第7招比翼双飞看数形85月29日18:30——20:30第8招逆向思维会反推96月5日18:30——20:30第9招搞定动态问题106月12日18:30——20:30第10招从此不会错课程咨询：1、张老师：185309232332、步老师：13837175593
最后补充说明几点：1、因特殊原因，个别授课内容顺序及时间会略有调整；2、每天都会有许多同学和老师问题，让解题。因本人精力和能力实在有限，且许多题目可能本人也不会。建议有不会的问题（《沙场秋点兵》《春季攻势》《冲刺十招》里的题目除外），可分享在群里面；3、《沙场秋点兵》和《冲刺十招》已经售罄，现在手头只有少量配合春季一轮培优的《春季攻势》，需要可私下联系；4、《沙场秋点兵》暂不考虑重印，2020年秋季修订后再适量重印。《冲刺十招》现在准备开始修订，预计4月初出来。请大家耐心等待。5、欢迎《冲刺十招》老读者对《十招》的修订提出宝贵建议。诚招部分《冲刺十招》修订人员，有意向可私下联系。交流学习：13083669383 QQ：478874009