对液面大气泡形状的初等证明

在下雨天，人们常常搬个凳子坐在门口，百无聊赖地看着屋檐滴水激起一个个水泡，这些水泡的形状似乎是半球形的，但是能严格证明吗？

众所周知，由于肥皂泡的表面积有收缩到最小的趋势，对于自由状态的肥皂泡，球形是最常见的形态；对于漂浮在水面上的肥皂泡而言，空气中的部分是球面是毋庸置疑的，但是为什么一定是半球面呢？

在肥皂泡内气体体积不变的情况下，难道半球面的表面积是最小的的吗？

为了分析水面上气泡的具体形状，不妨设其为半径为R，高度为h的球冠，球冠内部密封这一定质量的气体，由于忽略了气泡的附加压强，被密封的气体的体积为一定值。

由球缺体积公式可知，气泡内密闭气体的体积为

（1）式

由球冠面积公式，可知气泡的表面积为

（2）式

将（1）和球冠面积表达（2）式联立，消去半径，可以得到球冠面积与高度的关系为

（3）式

由均值不等式可知，（3）式中的三个部分乘积为一定值，当这三部分相等时，三者的和最小。即

（4）式

由（1）（4）式与球缺体积公式联立，得

（5）式

由（5）式可知，水面上大气泡的形状恰好是一个半球。

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