过山车安全释放高度的实验“误差”应该归因于小球的转动动能
一、引言
这几天一直在研究过山车安全释放高度的实验“误差”问题，对于实验值明显大于理论值的情况，网友们争论的比较激烈，观点各异，互不相让。
二、分析与梳理
为了真正搞清楚过山车安全释放高度的实验“误差”来源问题，微主把师生和网友们的一些观点进行了一些梳理。
1.轨道光滑的情况
当轨道光滑的时候，小球没有滚动，只有平动，就是教学中常用的物理模型。这种情况下，忽略小球半径，释放高度应为轨道半径的2.5倍。
2.轨道粗糙但小球纯滚动的情况
如果轨道粗糙，且满足小球纯滚动条件，小球既有滚动，又有平动。这种情况下，忽略小球半径，释放高度应为轨道半径的2.7倍。
3.轨道粗糙但小球有滑动的情况
如果轨道粗糙，且满足小球纯滚动条件，小球既有滚动，又有平动，也有滑动。这种情况下，忽略小球半径，释放高度应大于轨道半径的2.7倍。
在上述3种情况中，第1种情况最理想化，高中受众最多，是在实验中是最不能实现的情况；上述第2种情况页比较理想化，是在实验中有可能实现的情况；上述第3种情况比较实际，是在实验中是最有可能实现的情况，但是难以量化处理，笼统而含糊。
在上述3种情况中，均与实验中非常明显的“误差”不相符，这其中必然有其他误差来源，或者还有其他因素没有考虑到。
三、微主提出的一种可能性
小球在轨道上运动时，为了保证小球不会偏离轨道，通常把轨道做成卡槽，小球在卡槽中运动，保证小球沿着轨道方向运动。如图1所示，这种情况下，小球会有一部分陷入轨道中。
图1 轨道与小球的横截面
在这种情况下，小球在轨道上运动时，球心平动速度等于接触点A绕OO'轴转动的线速度。即
（1）
利用小球的转动惯量和转动动能表达式，可以计算出小球的转动动能。即
（2）
如图2所示，球在轨道上滚动时，小球的一部分陷入轨道中，小球球心所做圆周运动的半径为
图2 小球在竖直圆轨道内的运动
（3）
以小球实际运行轨道最低点为零势面，仅考虑纯滚动的情况，由机械能守恒定律可得
（4）
由（1）、（2）、（3）、（4）式可知，小球如果安全通过轨道最高点，小球释放的高度为
（5）
考虑到小球有一部分陷入到轨道内部，如果以轨道最低平面为零势面，则小球如果安全通过轨道最高点，小球释放的高度为
（6）
由（2）式可知，当平动速度一定时，轨道越宽，对应的自转角速度越大，转动动能所占的比例也就越大。
由（6）式可知，轨道越宽，小球安全通过轨道最高点所需要的释放高度越高。
四、结论
为了保证小球不会偏离轨道，通常把轨道做成卡槽。卡槽在限制小球运动方向的同时，小球也会有一部分陷入轨道中。这种陷入会导致转动动能所占比例逐渐增大，转动动能与平动动能的比例不再是2:5，而是大于2:5，甚至远大于2:5，转动动能带来的“误差”会越来越大。
分析（6）式可以发现，当小球的直径趋近于轨道宽度的时候，需要的释放高度将趋近于无穷大。因此，忽略小球的转动动能是过山车实验中释放高度问题的主要“误差”来源。
五、前文推送
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