发散变换的一个反例

1、一个公式：（b＞a＞0）

A=∫(0,∞)(e^-ax-e^-bx)(1/x)dx=lnb-lna.

2、发散变换：（不同解）

A=∫(0,∞)e^-ax(1/x)dx-∫(0,∞)e^-bx(1/x)dx

=∫(0,∞)e^-y(1/y)dy-∫(0,∞)e^-y(1/y)dy

=0（出现错误，因为两个积分是发散积分）

3、收敛变换：（同解）

（1）当k＞0时，

A=(k→0⁺)∫(0,∞)x^k-1(e^-ax-e^-bx)dx

=(k→0⁺)[∫(0,∞)x^k-1e^-axdx-∫(0,∞)x^k-1e^-bxdx]

=(k→0⁺)[a^-k∫(0,∞)y^k-1e^-ydy-b^-k∫(0,∞)y^k-1e^-ydy]

=(k→0⁺)(a^-k-b^-k)Γ(k)=(k→0⁺)(1/k)(a^-k-b^-k)Γ(k+1)
      =lnb-lna.

（2）当(-1＜k＜0)时，

A=(k→0^-)∫(0,∞)x^k-1(e^-ax-e^-bx)dx

=(k→0^-)[∫(0,∞)x^k-1(e^-ax-1)dx-∫(0,∞)x^k-1(e^-bx-1)dx]

=(k→0^-)[a^-k∫(0,∞)y^k-1(e^-y-1)dy-b^-k∫(0,∞)y^k-1(e^-y-1)dy]

=(k→0^-)(a^-k-b^-k)Γ(k)=(k→0^-)(1/k)(a^-k-b^-k)Γ(k+1)
      =lnb-lna.

4、推广：

（1）当(k＞-1)时，A(k)=∫(0,∞)x^k-1(e^-ax-e^-bx)dx=(a^-k-b^-k)Γ(k).

（2）A(-1)不存在。由此得出，当(k≤-1)时，（1）中的A(k)积分式是发散的。

（3）当(-2＜k＜-1)时，A(k)=∫(0,∞)x^k-1(e^-ax+ax-e^-bx-bx)dx=(a^-k-b^-k)Γ(k).

（4）以此类推，由Γ(k)的定义式，可得出A(k)的定义式。A(k)=(a^-k-b^-k)Γ(k).