2020 全国卷高考数学猜想5

——核心素养：直观想象

节选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》。

跳过一些运算和推理的步骤，直观感知变与不变，变化事物的相互关系、变化规律、变化过程中的最值，选择合理的模型作为载体，普适性的理论作为参照使得想象有了一个着力点。也要从数量关系和式子的结构中看到形。

1.（2019浙江第 7 题）设0 < a <1．随机变量 X 的分布列是

则当a 在(0,1) 内增大时，（ ）

A. D(X )增大  B. D(X )减小  C. D(X )先增大后减小  D. D(X )先减小后增大

2.（2019 全国2 卷文理12 题）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2 分，第二空3 分．）

【点评】第（1）个考查直观想象素养，注意到中间的面有八个，故3x8+2=26.

第（2）个只考虑正方体和中间横着的8 棱柱相切，于是也与竖着的8 棱柱相切，考虑在正方形中截取四个角落，使得成为正八边形，容易求得答案。此题和下题是同一个思路：