【名师支招】二元一次方程组重点题赏析

有甲、乙、丙三种货物,若购甲3件,乙7件,丙1件,共需315元;若购甲4件,乙10件,丙1件,共需420元.现在购买甲、乙、丙各1件,共需(  )

A.105元               B.210元                C.170元               D.不能确定

解:设购买甲、乙、丙各1件分别需要xyz元,则依题意

由①×3﹣②×2得,x+y+z=105,

即现在购买甲、乙、丙各1件,共需105元.

对于初一的学生来说,这道非常规的方程问题,需要较强的观察、分析、和变形能力,要想找到这个解法并不轻松!如果具备数学的整体思想和数形结合思想,一切只不过是逻辑的必然。

一般情况下解一次方程,未知数的个数和方程的个数相等情况下才可以解,本题来源于1985年的全国初中数学联赛,它被改编到试卷和练习题中,在人教版教材中,三元一次方程组打了*号,不作考试要求,为何频频出现呢?这题背后的宝藏值得我们去挖掘一下!

数学思维一:

原方程可以变形为:2(x+3y)+(x+y+z)=315

3(x+3y)+(x+y+z)=420

于是(x+y+z)的值转化为消去(x+3y).

数学思维二:把x,y 看作主元,原方程课变为:  3x+7y=315-z

4x+10y=420-z

解出   x=105-150z   y=50z  从而x+y+z=105

数学思维三,如果具备高阶思维,构造 m(3x+7y+z)=315m

n(4x+10y+z)=420n

使得:       3m+4n=1

7m+10n=1

m+n=1

可解得:m=3,n=-2,于是有了上面给出的简单解出过程.

事实上,如果到了高中,可以把上述两个方程看作两个平面,而求解则是确定一个过其交线的平面(求k):  x+y+z=k  从空间知识出发,确定平面x+y+z=3有一个点就够了,故特殊化解法令y=0.

数学思维五:联立三个方程(3x+7y+z)=315 ;(4x+10y+z)=420;x+y+z=k得出三元非齐线性方程组有非零解,又可得行列式解法.

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