【名师支招】二元一次方程组重点题赏析
有甲、乙、丙三种货物,若购甲3件,乙7件,丙1件,共需315元;若购甲4件,乙10件,丙1件,共需420元.现在购买甲、乙、丙各1件,共需( )
A.105元 B.210元 C.170元 D.不能确定
解:设购买甲、乙、丙各1件分别需要x,y,z元,则依题意
由①×3﹣②×2得,x+y+z=105,
即现在购买甲、乙、丙各1件,共需105元.
对于初一的学生来说,这道非常规的方程问题,需要较强的观察、分析、和变形能力,要想找到这个解法并不轻松!如果具备数学的整体思想和数形结合思想,一切只不过是逻辑的必然。
一般情况下解一次方程,未知数的个数和方程的个数相等情况下才可以解,本题来源于1985年的全国初中数学联赛,它被改编到试卷和练习题中,在人教版教材中,三元一次方程组打了*号,不作考试要求,为何频频出现呢?这题背后的宝藏值得我们去挖掘一下!
数学思维一:
原方程可以变形为:2(x+3y)+(x+y+z)=315
3(x+3y)+(x+y+z)=420
于是(x+y+z)的值转化为消去(x+3y).
数学思维二:把x,y 看作主元,原方程课变为: 3x+7y=315-z
4x+10y=420-z
解出 x=105-150z y=50z 从而x+y+z=105
数学思维三,如果具备高阶思维,构造 m(3x+7y+z)=315m
n(4x+10y+z)=420n
使得: 3m+4n=1
7m+10n=1
m+n=1
可解得:m=3,n=-2,于是有了上面给出的简单解出过程.
事实上,如果到了高中,可以把上述两个方程看作两个平面,而求解则是确定一个过其交线的平面(求k): x+y+z=k 从空间知识出发,确定平面x+y+z=3有一个点就够了,故特殊化解法令y=0.
数学思维五:联立三个方程(3x+7y+z)=315 ;(4x+10y+z)=420;x+y+z=k得出三元非齐线性方程组有非零解,又可得行列式解法.
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