摘取皇冠上的明珠——哥德巴赫猜想
在两个半世纪以前，德国一位中学数学教师基利斯当·哥德巴赫发现一个很有趣的现象，这就是很多整数差不多都能表示为三个素数的和。他作了大量的试验，哪怕是一些大得出奇的数也具有这一特性。因此，他估计任意不低于5的自然数，很可能都能表为三个素数之和。尽管他猜想到这一点，但始终在理论上找不到证明。1742年6月7日，哥德巴赫怀着兴奋和期待的心情把这一发现写信告诉欧拉，并期望欧拉能提供理论上的证明。欧拉对哥氏的来信很感兴趣，经过反复研究和思索，发现要解决这一问题的根本关键，在于着力证明任意大于2的偶数都能表为两个素数之和。要是这后一问题被证实，那么哥德巴赫提出的问题便成为一条极为明显的推论。欧拉本人也作了大量的核对和验证，坚信他自己的发现很有可能是真理，便于当年6月30日复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶数都是两个素数的和。虽然，我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”
图1 哥德巴赫
两位数学家在通信往来中所提出的两点估计，两百多年来吸引了千千万万人的注意。很多人前赴后继，不懈地钻研，谋求解决。但全都力不从心，皆未获得成功。因此，人们就把这个估计称为“哥德巴赫猜想”。
1900年，希尔伯特在第二届国际数学会的著名演讲中，把“哥德巴赫猜想”、“黎曼猜测”与“孪生素数猜测”作为十九世纪最重要的尚未解决的几个问题，介绍给二十世纪的数学家去解决，这便是所谓的希尔伯特第八问题。在1912年举行的第五届国际数学会上，数学家兰道曾这样说过，即使想证明如下较弱的命题——存在一个正整数C，使每一个大于等于2的整数都可以表示为不超过C个素数之和——也是现代数学家力不能及的。1921年，哈代在哥本哈根召开的数学会上说：“哥德巴赫猜想”的困难程度是可以和任何没有解决的数学问题相比的。
显然，哈代与李特伍德的猜测比哥德巴赫猜想更加深刻和精细，它们不仅能推证出哥德巴赫和欧拉的估计成立，而且给出了充分大的整数表为素数和的表示方法个数的渐近公式。
图2 皇冠上的明珠
鉴于哥德巴赫猜想出奇的困难程度，长时期来，它一直被人们誉为“皇冠上的明珠”。抗日战争时期，年仅十三、四岁的中学生陈景润，便从当时国立清华大学航空系主任沈云教授那里听到了关于哥德巴赫猜想的引人入胜的故事。从那时起，这颗“皇冠上的明珠”便深深地吸引着年轻的陈景润。
两百多年来，尤其是近七十年来，很多著名数学家，在攻克哥德巴赫猜想的进军中，取得了很好的成绩。
1930年，苏联数学家史尼尔曼证明了，任何大于等于2的整数都可以表示为不超过C个素数之和，这里C是一个常数。
1937年，苏联数学家维诺格拉托夫证明了每一个充分大的奇数都是三个奇素数之和。
1938年，我国著名数学家华罗庚证明了“华氏定理”:
关于“哥德巴赫猜想”的研究，人们在长期实践中积累了一系列宝贵资料。
估计对于更大的偶数也可望成立，但谁也无法给出证明。十八世纪和十九世纪，对此毫无进展。直到二十世纪二十年代，才停止了这种无止无休的逐个核算的办法，并在理论证明上迈出了新的一步。
为了叙述方便，这里先作三点说明：
1.素因数的个数不超过某一固定常数的自然数称为“殆素数”，例如15=5x3, 15就是素因数不超过2的“殆素数”。
2.每一个充分大的偶数都可以表为一个素数与一个素因数个数不超过C的殆素数之和时，记为（1+C）。
3.每一个充分大的偶数都可以表为两个素因数个数分别不超过a和b的殆素数之和时，记为（a十b）。
图3
1920年，挪威数学家布朗教授，用一种古老的“筛法”证明了（9+9）；1924年，德国数学家拉德马哈尔证明了（7+7）；过了8年，1932年英国数学家爱斯特曼证明了（6+6）；1938年，苏联数学家布赫斯塔勃证明了（5+5）；到第三年，1940年他又获得（4+4）的更佳结 果；过了16年，到1956年，苏维埃数论英雄维诺格拉托夫又取得（3+3）的好结果；1957年，在向科学进军声中，我国数学家王元成功地证明了（2+3）。就这样，自布朗取 得（9+9）以来，将近40年时光，一步步地，非常艰难而又非常令人鼓舞地缩小了包围圈，越来越向（1+1）靠近。
可惜，这一系列成果明显的不足之处，就是两项加数之中全是殆素数，竟没有一项可以肯定为素数。这样，一些数学家别开生面，开辟了“第二战场”，设置下新的包围圈。早在1948年，匈牙利数学家兰恩易成功地指出，任意大偶数可表为（1+6)；1962年，我国数学家，山东大学潘承洞讲师获得了（1+5）的较好结果；同年， 他和王元又得到（1十4）的更佳结果；1965年5月，布赫斯塔勃、维诺格拉托夫和意大利数学家庞皮艾黎都证明了（1+3）。
图4 1978年2月16日《光明日报》刊登的《哥德巴赫猜想》全文
早在四十年代就受到“哥德巴赫猜想”的故事熏陶的新中国年轻数学家陈景润，在深入钻研了当代很多著名数论论文后，奋然向“哥德巴赫猜想”顶峰攀登。他在对筛法作了新的重要改进后，1966年5月在《科学通报》第十七期上发表题为《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》的举世著名的论文，提出了震惊中外的定理——“陈景润定理”，成功地取得了（1+2）的最佳结果。这样一来，使哈代与李特伍德提出的猜测全部得以解决。为此，国际数学界纷纷发表文章，把“陈氏定理”誉为“杰出的成就”，“光辉的顶点”。一位英国数学家致函陈景润，信中写道名“您，推动了群山！”
陈景润定理的获证，给人们带来极大的振奋。但是“哥德巴赫猜想”尚未最后获得解决。看来，从（1+2）到 (1十1）仅仅只有一步之差，不，甚至可以说只有半步之差了。摘取这颗明珠，似乎指日可待。中外学者无不为此摩拳擦掌，跃跃欲试， “哥德巴赫猜想”’变为定理的形势十 分喜人。但是应该强调指出，哥德巴赫定理的彻底获证，绝非轻而易举之事。陈景润在他的新著《初等数论》（I）的序言中，有一段话，说得非常中肯，我们就以它作为这篇短文的结束语吧：
图5 陈景润
“据多年来的经验，数论中的不少世界著名难题，例如哥德巴赫猜想，费马大定理等，具有初中毕业程度的同志们，经过自学都能自明其意思。但是对于它们的困难程度都了解得很少，甚至没有了解。以至于许多同志，特别是许多青年同志，盲目地将许多精力浪费在用一些初等数论的方法证明这些世界著名难题，而不知道要想解决这些世界著名难题，首先需要学习许多非常高深的数论论文，还要经过多年刻苦钻研，然后才有可能从事这方面的研究工作。我认为在最近几十年，关于哥德巴赫猜想、费马大定理等世界著名难题是不能只用初等数论方法得到证明的。所以，希望青年同志不要走入歧途，不要浪费时间和精力。”