压轴题解法：一个关于全等、相似、二次函数的“综合题”
最近在做2021年各省市的中考题，遇到些印象深刻的，比如
送你满分杭州卷，题目劝退哈尔滨，
长春面前都弟弟，一枝独秀是南京．
等等．以及压轴大题的两个风格：
一种是有多种情况但就给你画出一个图形的节俭流，
另一种是噼里啪啦说了一堆但坐标系里啥都没有的清白风，
就想问一句是不是印刷厂的墨涨价了．
1
从广东卷第10题说起
在之前解析广东卷选择第10题时，题目如下
2021广东第10题
设O为坐标原点，点A、B为抛物线y=x²上的两个动点，且OA⊥OB，连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值是（ ）
选项就不放了，这个问题的难点在于求证OC=ab=1，也可以描述为：
引例1
在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别在AB、CD上，EF∥AD，AE=a，BE=b，AD=a²，BC=b²．
求证：EF=ab．
看到这个问题的第一眼，我想到的是：这图我熟！
早在学习全等的时候，就有这么一个问题：
引例2
在四边形ABCD中，AD∥BC， M点是AB中点，连接CM、DM．以下结论“知一推二”：①AD+BC=CD；②DM⊥CM；③DM平分∠ADC或CM平分∠BCD．
倍长中线即可解决问题，另外若过点M作MH⊥CD，则△MAD≌△MHD，△MBC≌△MHC．
巧的是，广东卷的倒数第二题正是这张图．
2021广东卷倒数第二题
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC=90°，点E、F分别在线段BC、AD上，且EF∥CD，AB=AF，CD=DF．
（1）求证：CF⊥FB；
（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；
（3）若EF=2，∠DFE=120°，求△ADE的面积．
但很明显，第10题并不是这样的条件！引例1和引例2完全是两个问题，条件不同问题也不同，引例2是探究边角关系，而引例1要的是线段EF的长．
于是我想，从结果来看，能否找到一些思路，若EF=ab，则满足四边形AEFD∽四边形EBCF．相似三角形很常见，相似四边形倒是见得多，如何从这些已知条件发现这两个四边形相似？如果能发现相似，那问题就解决了！
但好像没有人告诉我，相似四边形能当成一种方法用啊．
2
相似四边形
好在四边形的相似也不是没考过，2019年长沙卷的第24题，简述下题目的第三小问：
2019长沙第24题
如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD、BC于点E、F，记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求S1:S2的值．
这个问题并没有给任何的线段关系，但AB、CD之前必然存在某种关系，才能满足两个四边形相似，由AB、CD之前的数量关系得到相似比，EF是过对角线交点O的平行线，那么EF是可以求的．
在相似章节里，有这么一个结论：
引例3
若AB∥EF∥CD，B、F、D共线，记AB=a，CD=b，EF=c，则1/a+1/b=1/c
其实EF的算法不麻烦，如果我们知道这样一个结论的话
公式
若AE/AB=λ，则EF=λBC+（1-λ）AD．
或者如果觉得这个公式和线段上的n等分点公式有点像的话，也可以这样：将线段BC搬到数轴上，点B与原点重合，分别过D、F作数轴的垂线，垂足记为D'、F'．可得：“F'”=λb+（1-λ）a．
自我检讨，在学习平行线分线段成比例的时候，只知道a:b=c:d，却没有想过e、f、g之间的关系，这就让出题老师钻了空子．
3
当CD=AD+BC时
如果将前面的问题结合结合，比如加上条件“AD+BC=CD”，即满足AD=DF=a，BC=CF=b，那么此时EF是多少？
不难得出：EF=2ab/（a+b），如果觉得这个结论不好看的话，可以换个形式：1/AD+1/BC=2/EF．
这个可以怎么考？来看看2021年大庆中考的最后一题．
2021大庆中考最后一题
这是一道关于抛物线的几何定义的问题，去年深圳也考过，更早之前也有很多例子，这里的一些常用结论《压炼》第二部分第7讲有总结．
这个题重点来看第二小问的②，如图，即求1/MP+1/NQ的值，
显然1/MP+1/NQ=2/2=1．
这个我觉得是这个图形里最难的一个结论，果然还是考到了，记得初次见是在前几年的一份一模卷上，再次见是一份笔试试卷的最后一题，被印象深刻了．
如果发现形式上和【引例3】有点像的话，还可以再搞点事情．
连接AC、BD交于点O，则点O在EF上且O点是EF的中点，变换下条件与问题，便又是一个题目了．
最后，再放个不一样的问题吧，若四边形AEFD的面积与四边形BEFC面积相等，求EF的长．（用a、b表示）
来源：有一点数学 ，作者：刘岳