压轴题解法:一个关于全等、相似、二次函数的“综合题”

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最近在做2021年各省市的中考题,遇到些印象深刻的,比如

送你满分杭州卷,题目劝退哈尔滨,

长春面前都弟弟,一枝独秀是南京.

等等.以及压轴大题的两个风格:

一种是有多种情况但就给你画出一个图形的节俭流,

另一种是噼里啪啦说了一堆但坐标系里啥都没有的清白风,

就想问一句是不是印刷厂的墨涨价了.

1

从广东卷第10题说起

在之前解析广东卷选择第10题时,题目如下

2021广东第10题

设O为坐标原点,点A、B为抛物线y=x²上的两个动点,且OA⊥OB,连接点A、B,过O作OC⊥AB于点C,则点C到y轴距离的最大值是(    )

选项就不放了,这个问题的难点在于求证OC=ab=1,也可以描述为:

引例1

在四边形ABCD中,AD∥BC,E、F分别在AB、CD上,EF∥AD,AE=a,BE=b,AD=a²,BC=b².

求证:EF=ab.

看到这个问题的第一眼,我想到的是:这图我熟!

早在学习全等的时候,就有这么一个问题:

引例2

在四边形ABCD中,AD∥BC, M点是AB中点,连接CM、DM.以下结论“知一推二”:①AD+BC=CD;②DM⊥CM;③DM平分∠ADC或CM平分∠BCD.

倍长中线即可解决问题,另外若过点M作MH⊥CD,则△MAD≌△MHD,△MBC≌△MHC.

巧的是,广东卷的倒数第二题正是这张图.

2021广东卷倒数第二题

如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,∠ABC=90°,点E、F分别在线段BC、AD上,且EF∥CD,AB=AF,CD=DF.

(1)求证:CF⊥FB;

(2)求证:以AD为直径的圆与BC相切;

(3)若EF=2,∠DFE=120°,求△ADE的面积.

但很明显,第10题并不是这样的条件!引例1和引例2完全是两个问题,条件不同问题也不同,引例2是探究边角关系,而引例1要的是线段EF的长.

于是我想,从结果来看,能否找到一些思路,若EF=ab,则满足四边形AEFD∽四边形EBCF.相似三角形很常见,相似四边形倒是见得多,如何从这些已知条件发现这两个四边形相似?如果能发现相似,那问题就解决了!

但好像没有人告诉我,相似四边形能当成一种方法用啊.

2

相似四边形

好在四边形的相似也不是没考过,2019年长沙卷的第24题,简述下题目的第三小问:

2019长沙第24题

如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AC与BD相交于点O,过点O作EF∥AB分别交AD、BC于点E、F,记四边形ABFE的面积为S1,四边形EFCD的面积为S2,若四边形ABFE与四边形EFCD相似,求S1:S2的值.

这个问题并没有给任何的线段关系,但AB、CD之前必然存在某种关系,才能满足两个四边形相似,由AB、CD之前的数量关系得到相似比,EF是过对角线交点O的平行线,那么EF是可以求的.

在相似章节里,有这么一个结论:

引例3

若AB∥EF∥CD,B、F、D共线,记AB=a,CD=b,EF=c,则1/a+1/b=1/c

其实EF的算法不麻烦,如果我们知道这样一个结论的话

公式

若AE/AB=λ,则EF=λBC+(1-λ)AD.

或者如果觉得这个公式和线段上的n等分点公式有点像的话,也可以这样:将线段BC搬到数轴上,点B与原点重合,分别过D、F作数轴的垂线,垂足记为D'、F'.可得:“F'”=λb+(1-λ)a.

自我检讨,在学习平行线分线段成比例的时候,只知道a:b=c:d,却没有想过e、f、g之间的关系,这就让出题老师钻了空子.

3

当CD=AD+BC时

如果将前面的问题结合结合,比如加上条件“AD+BC=CD”,即满足AD=DF=a,BC=CF=b,那么此时EF是多少?

不难得出:EF=2ab/(a+b),如果觉得这个结论不好看的话,可以换个形式:1/AD+1/BC=2/EF.

这个可以怎么考?来看看2021年大庆中考的最后一题.

2021大庆中考最后一题

这是一道关于抛物线的几何定义的问题,去年深圳也考过,更早之前也有很多例子,这里的一些常用结论《压炼》第二部分第7讲有总结.

这个题重点来看第二小问的②,如图,即求1/MP+1/NQ的值,

显然1/MP+1/NQ=2/2=1.

这个我觉得是这个图形里最难的一个结论,果然还是考到了,记得初次见是在前几年的一份一模卷上,再次见是一份笔试试卷的最后一题,被印象深刻了.

如果发现形式上和【引例3】有点像的话,还可以再搞点事情.

连接AC、BD交于点O,则点O在EF上且O点是EF的中点,变换下条件与问题,便又是一个题目了.

最后,再放个不一样的问题吧,若四边形AEFD的面积与四边形BEFC面积相等,求EF的长.(用a、b表示)

来源:有一点数学 ,作者:刘岳

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