数量关系：均摊思想解决办卡费

很多时候我们遇到求解费用最优问题时总是抓耳挠腮，最后列出一大堆线性方程去进行比较，那么有没有其他思考方式去求解呢，我们今天来看看如何利用均摊的方式来找最优问题，那么将通过一道例题来进行讲述。

例1.一家电影院的电影票收费标准为50元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：

若小李一年内在该电影院观影次数介于10--20次，则对于他来说最省钱的方式为：

A.购买A类会员年卡 B.不购买会员年卡

C.购买C类会员年卡 D.购买B类会员年卡

【答案】选D。解析：解法一：设观影次数为 x次，且 10<x<20，则购买A类卡需花费（50+40x）元，购买B类卡需花费（100+35x）元，购买C类卡需花费（200+30x）元。我们可以分两种情况： <x<20，则购买a类卡需花费(50+40x)元，购买b类卡需花费(100+35x)元，购买c类卡需花费(200+30x)元。我们可以分两种情况：< p="" style="margin: 0px; padding: 0px;">

①若50+40x>100+35x，解得当x>10时，B卡比A卡省钱;

②若100+35x>200+30x，解得当x>20时，C卡比B卡省钱，即x<20时B卡比C卡省钱。

综上所述，当10<x<20时，B类卡最省钱，故本题选D。<x<20时，b类卡最省钱，故本题选d。< p="" style="margin: 0px; padding: 0px;">

解法二：由题目可知，可以把办卡的费用均摊到每一次电影票的收费中，进而求得每种卡票价的取值范围，当用A类卡观影次数在10--20次之间时，平均票价为(40+50/20~40+50/10)元，即介于42.5元到45元之间;当用B类卡观影次数在10--20次之间时，平均票价为(35+100/20~35+100/10)元，即介于40元到45元之间;当用C类卡观影次数在10--20次之间时，平均票价为(30+200/20~30+200/10)元，即介于40元到50元之间;在这三种情况中，我们选择每次均价下限最小的应该为40元，排除A类，均价上限最小的应该为45元，所以两个都兼顾的是B类，故本题选D。

总结：通过这个题目，只是起到抛砖引玉的作用，希望各位同学在以后遇到这类题目时不妨从其他角度多思考，是否可以将题目化繁为简，正如这个题目用均摊年卡费用的思路，能快速入手找到选项。