常考常新的矩形折叠问题，不是你想象中的简单
矩形背景下的折叠问题是中考折叠考题中最常见的类型，常考常新。解决以矩形为背景的折叠问题，首先要考虑矩形的一些基本性质，特别是矩形中存在的垂直关系、平行关系、相等关系。
矩形折叠中位置关系的判断主要是判断是否垂直或是否平行，因此对于平行与垂直的基本判定方法必须掌握。
有些考题虽然没有明确要求判断线线位置关系，但要求证明三角形或四边形为特殊四边形时，此类图形的特征就包含平行或垂直关系，所以对于判定为某特殊图形时，要考虑此特殊图形的特殊特征。
01解题策略
对于矩形中的折叠题目，常会出现斜直角．则过直角顶点构造“一线三直角”模型，再利用勾股定理或相似求解．
1.选适当线段设为x；
2.根据题目条件，尽量用x表示其它线段；（常根据和差倍分关系、角平分线+平行线，等腰三角形必出现、特殊三角形三边比例关系来表示）
3.根据勾股定理或相似列方程并求解，有时也可根据“折痕上的点到对应点距离相等”来列方程
例如矩形背景下折叠问题中求线段长，应注意以下两点：
1.此类型考题主要区别在：
(1)折痕位置不同；
(2)被折图形部分的顶点的落点位置不同。
（3）折叠的背景图形不同。
3.求线段长主要是：
（1）求折痕的长；
（2）求特定连线段的长。
求解的基本方法：
方法一：利用勾股定理求解。由于矩形四个角为直角，折叠后，根据折叠性质，折叠前后角不变，所以很容易出现垂直关系。
方法二、利用相似求解。折叠前后有些量是不变，所以相等的角较多，容易与相似关联起来。然后利用相似列等量关系求解。
方法三、直接利用图形的特征进行求解。
方法四、利用三角形全等求解。方法同方法二相类似。利用折叠前后的相等的量来构造全等。
02经典问题
例1.（2021定远县一模）将矩形ABCD按如图方式折叠：BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一直线上，同时点E，O，F在另一条直线上．请完成下列探究：
（1）∠BEG的大小为
______
；
（2）若AD＝4，则四边形BEGF的面积为
_____
．
【解析】（1）由折叠的性质和平角的性质可求解；
（2）设DG＝CG＝a，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝4，
例2.[2020江西中考题]如图，在矩形ABCD中,AD=8cm,AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B,交AD边于点E，点A落在点A’处，展平后得到折痕BE,同时得到线段BA’，EA’，不再添加其他线段.当图形中存在30°角时， AE的长为 ______ .
解析:
共分为三种情况讨论：
①当∠ABE=30°（或∠A’BE=30°或∠A’BC=30°）时
在Rt△ABE中，AB=4，∠ABE=30°,
(勾股定理法略)
②当∠AEB=30°（或∠A’EB=30°）时
在Rt△ABE中，AB=4，∠AEB=30°
③当∠ABA’=30°（或∠A’ED=30°）时，如下图
过点A’作MN⊥BC,垂足为点N,交AD于点N,易证四边形ABNM是矩形
在Rt△A’BN中，A’B=AB=4，∠A’BN=90°-30°=60°
∴∠BA’ N=30°，∴BN=2，
∵∠A =∠BA’E=90°,∠BA’N=30°，
∴∠EA’M=60°，∴∠A’EM=30°，
(勾股定理法、三角形相似法略)
点评
：对于折叠落点不确定的折叠问题，通常情况下，结合隐形圆和题意，找到符合题意的动点位置，结合隐形圆和题意，找到符合题意的动点的位置；把条件或结论转移到三角形中，利用方程、三角函数、勾股定理或者相似三角形的性质进行求解。注意利用分类讨论思想，完整求解这类问题，一般不容易。
例3.（2021新抚区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝15，AD＝8，E为AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B落在点F处，当△AEF为直角三角形时，AE＝_______．
【分析】分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可AE的长．
【解答】：①如图，若∠AEF＝90°，
∵∠B＝∠BCD＝90°＝∠AEF，
∴四边形BCFE是矩形，
∵将△BEC沿着CE翻折，
∴CB＝CF，
∴四边形BCFE是正方形，
∴BE＝BC＝AD＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝15﹣8＝7；
②如图，若∠AFE＝90°，
由题意，可知，CB＝CF＝8，∠B＝∠EFC＝90°，BE＝EF，
∵∠AFE+∠EFC＝180°，
∴点A，点F，点C三点共线，
例4（2020无锡）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S．
（1）若DE=√3/3，求S的值；
（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．
【分析】（1）已知DE的长，则进而可以得到AE的长度，易得△APE为等腰三角形，可以通过构造直角三角形，利用相似、勾股或者三角等知识得到AP与PE的长度。
那么梯形的面积就不难求了。
可以作AP的垂线，也可以作AE的垂线，得到AP的长度即可。
（2）是用DE的长度来表示梯形的面积。方法与题（1）类似，关键就是表示出梯形的底和高。可以利用相似，或者勾股定理得到AP的长，进而得到梯形的面积。
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03解题反思
1.“做中学，学中做”。同学们在学习的过程中，不仅要重视对数学理论知识的学习，而且还要重视操作，不要放弃任何一次可以进行实验、操作的机会。
例如在阅读上面例题的解析过程中，就可以利用手边的施形纸片（注意尺寸）边读、边折、边想，在折叠与想象中，彼此印证分析，从中培养阅读理解能力和空间想象能力，进而提高解题能力。
2.折叠矩形纸片是轴对称变换，属于全等图形的范畴。可以先从边、角、形三方面思考折叠前后有哪些相等的线段、角和全等三角形，然后联想已知条件，看看又能产生哪些新的结论。
这当中，尤其要注意将矩形折叠中产生的角平分线与距形的两组对边分别平行结合在一起思考，往往会发现等腰三角形。
3.经历上面两点思考后，面对折叠后的静止“图形，你会发现解决这类折叠问题的关键有二点一是在折叠操作（或“凭空想象”）中，弄清楚各种情况，画出相应状态下的静态图形二是利用袖对称知识将分散的几何条件（边长）集中到某一个直角三角形中，再设未知数，运用勾胶定理构建方程求解。