5.2恒星的质量限
Virial定理
恒星的结构方程是关于恒星局部所进行的，是一些常微分方程结合辅助方程
而Virial定理，它能够对恒星有关整体的性质来进行描述
所以说在解释恒星，甚至解释其他天体的结构和演化的时候Virial定理非常有用
这里我们给出了Virial定理的具体形成
当然这是一种简洁的形式，Ω加上3倍的括号γ减1乘以U等于零，其中Ω是天体的自引力能，U为总的内容 γ为常数，代表着绝对指数。
写成这种形式之后，我们还可以给出天体的总的能量，它的总能量是由天体的总内能，做加上它的势能。
所以由Virial定理我们不难给出，它的总能量的表达。
一个单原子理想气体，所构成的这样一个自引力束缚系统，它的绝对指数等于（5/3）
所以我们代进去，它应该是满足于Ω加上2倍的U等于0，这个结果还会告诉我们，对于这样一种天体，它的这样一个总能量你也可以给出来。
那样你会发现，这样一个单原子理想气体构成的天体，它在自引力坍缩的过程当中。
如果它在缓慢的坍缩，它在始终满足这样的Virial平衡，它自引力能够做功，其中的一部分能量，或者严格来说是它的一半，会让它内部升温，还有一半，就通过辐射把能量给它带出去了。
对于Virial定理，我们还可以做一个应用，可以来给出这样星云坍缩的条件。
星云如果要坍缩，它一定要确保它的引力能占主导，要大于它的总的内能。
由此我们可以给出，星云塌缩的临界质量，也就是金斯质量的大小，所以说如果当一个分子云，它温度足够的低，它的密度足够的高，质量足够的大，那么它就可以开始坍缩来形成恒星。
接下来我们具体来看一下，恒星它的质量限，我们现在很清楚，恒星它具有质量的下限，恒星它有具有质量的上限，恒星存在质量下限的原因是什么？
我们认为如果这样一个坍缩分子云，所形成的天体的质量过小，这样一个天体，它就无法点燃它核心的氢燃烧，这样一种（塌缩气体云），它就会成为一类失败了的恒星，虽然它形成的过程与恒星形成过程非常的一样，但是它无法达到大规模的。
氢热核聚变反应，点火的温度它会形成为褐矮星，恒星它也存在有上限。
原因我们是认为它是由动力学不稳定，当恒星质量很大，它会过渡到以辐射压占主导。
那么下面实际上展示了这样一个，早年观测到的一颗褐矮星这样的图，我们如何来理解恒星
它存在有质量的下限呢?
我们可以通过考察这样一个气体，坍缩的过程来分析气体，在自引力坍缩的过程当中，它会有什么样的情况呢？
它的半径会逐渐逐渐的减小，当然我们在这里做一个近似，认为在恒星形成的过程当中，它的质量没有损失，质量不变。
所以随着云块在不断不断的坍缩，半径在不断不断的减小，所以它的这样一个自引力，势会负的越来越多。
按照Virial平衡的要求，它的内能就会随之相应的增加，这会使得它的内部温度会有所增加
星云坍缩另外一个（效果）是什么呢？
随着它半径的减少，会使得粒子之间间距会减少，粒子之间间距减少，是跟它总的粒子数1/3次方有关，这样一个间距。
同时我们得注意到，随着温度的增加，那么也说明，这样坍缩的云块内部，粒子热运动的动能会增加，因为对于这样一个热运动的粒子，它具有波粒二象性。
它的de Broglie波长，是随着这样一个，坍缩云块的半径的1/2次方成比例在发生变化。
我们先前所讲的粒子之间间距是随着它半径的一次方成比例在发生变化，那么随着这个坍缩在不断的进行，如果坍缩到一定的程度，使得粒子之间的间距，比这样de Broglie波长还来得小的时候这样量子力学效应就起作用了。
它会抗拒引力的作用，会阻止这样一个云块进一步的坍缩，温度将不再增加，那像这样一个坍缩云块，就无法形成恒星，但是也有另外一种情况，如果这样云块在不断不断的塌缩，温度在不断不断的增加，在它还没有达到它的（粒子间距），小于de Broglie波长的时候，使它的温度已经达到某个临界的温度，点火的温度。
那么就可能使恒星内部的燃烧点燃，这个时候，核坍缩就停止了，所以我们可以把这样一个粒子间间距，还有粒子的de Broglie波长。
随着半径关系做图 ，我们可以看到，它们这两个演化，它会有一个交点，所以我们主要是在关注。
就是在这个焦点的位置，所对应的温度，能否达到点火的温度，而在这个交点的位置，所对应的这个温度，也就是云块自引力收缩的过程当中它能够达到的最高这样温度。
那么对于这样一个过程，我们如何构造模型来分析它，或给出这样一个定量的结果呢？
我们可以通过这样简单的思路来构造它，在这里我们得考察几个，主要能量的贡献
显然 、，这样一个天体，它的引力起作用了，所以我们要考察天体的自引力能，显然这个天体它的热运动能量起作用了
我们要考察它的热能，同时我们还要关注它的量子力学效应，所以说我们还要考察它的费米能。
所以我们考察一定质量为N，乘以质子质量的这个系统，那么靠的引力以费米能和热能，达到平衡的这样天体。
它的结构，它的这样的方程会怎样呢？
我们实际上是可以给出这样一个，方程的表达式，那么像每一个粒子，它的能量就是热运动能，作用到每个粒子上的热运动能量，等于作用到每个粒子上引力能的能量，再减去每个粒子上费米能，所以我们可以给出这样一个温度。
随着粒子之间间距的（变化）关系，我们可以做出图形来，它是一个具有峰值这样结构
在这个图蓝色所标注的区域，代表的是热压占主导区，黄色所标注的区域，代表的是量子效应起作用的区域。
所以说它会存在有个极大，我们可以非常简单，给出这样一个极大值，所对应的这样一个位置，所以我们可以给出这样一个云块。
它能够达到的最高的温度，那么有了这样一个最高的温度之后，我们只需来比较点火的温度，所以说就可以来判断，恒星是否可以进行核燃烧。
在这里，我们来取质子—质子链式反应，这也是在恒星内部相对而言，最容易所进行的核反应
这样一个核反应，它的点火温度是多少呢？
一千个电子伏特，所以我们把这样的最高的温度，和点火温度相结合，我们就可以推导出这样一个
临界粒子数目的多少，那么这个临界粒子数目的多少，也就对应着恒星它的质量下限，如果当这样一个坍缩的云块，它的质量低于0.1个太阳质量。
那么这样一个（塌缩的云块），就会演化成为褐矮星，在这一幅图当中，我们具体展示了行星 褐矮星，以及低质量恒星它内部的结构，它的特征。
恒星的质量上限如何来分析呢？
我们通常会说，可以通过动力学（稳定性）来分析它
这是图当中蓝色和绿色所表示的区域，它的绝对指数等于5/3对应稳定的区域红色和黄色所对应区域，绝对指数是4/3对应动力学不稳定的区域。
对于大质量恒星它温度很高，光子气体或者说辐射压的贡献，会越来越起作用
所以说它会使得这样一个恒星，会逐步过渡到动力学的不稳定，因此恒星它会存在有质量的上限的
在这里我们还可以来分析一下它，是否有其他的方式，来给出恒星的质量上限，在这里需要借助一个，有关恒星的经验关系，恒星有两个非常著名的经验关系。
其中有一个是叫做，恒星的质量和半径的关系，恒星的半径是跟恒星的质量，0.5到1次方成比例。
另外一个重要的关系是，恒星的质量 光度关系，它可以给出恒星的光度是跟恒星的质量的2到4次方成比例的这样一种关系。
对于这样一个关系，爱丁顿在1924年的时候，从理论上给予了解答，有了质光关系。
我们很自然会问，恒星的质量越大，它的光度就会越大，随着质量无限的增长下去，是不是恒星就可以达到，无限的光度呢？
绝非如此，因为恒星它需要满足一个要求，它的光度不能超过某一个特定的光度，爱丁顿光度，一个质量为太阳质量大小的天体。
这个天体它的爱丁顿光度，差不多是10的38次方尔格每秒
如果当这个天体它光度，超过爱丁顿极限光度就会有很强的星风，把恒星外面的包层物质吹散走所以说这也就决定着恒星，它会存在着一个上限。
这个上限差不多，是落在66个太阳质量左右。
这里列出了我们在银河系所发现的大质量恒星，这里看到是116个太阳质量大小质量的恒星。
那么这是人们发现的几乎达到了320个，太阳质量大小的恒星。
按照先前的分析或许这样的恒星它并不见得是动力学稳定，但是我们为什么能够看到它呢？
当然大家课后可以来进一步分析，最后我们列出了这样一个，有关恒星的参数的范围，那么这幅表的中间，列出的是太阳的这样一个参数，它的半径 质量 温度 光度，以及它的(金属)丰度。
那么右边是给出了这样恒星，它对应的物理量的范围，在这个表当中变化最大的是它变化可以有11个量级大小。
我们还可以把这样一个恒星，可以把它画到我们这样一个图当中可以把它做出来。
我们在这幅图当中
这样一个天体感兴趣的尺度我们可以把太阳，它的这样一个位置，在图当中就是对应着红色的这条曲线，那么对应的就是主序星，当然在主序阶段的恒星，它之所以能够长时间的存在，那么就是靠的这样一个氢的燃烧，在不断的进行。
它是燃烧的寿命非常非常长，可以占据它整个一生当中，90%以上的时间。
但是如果到将来的某一天，当恒星的核心，它的氢已经燃烧终结了，或者说已经枯竭了，那么这个时候，恒星它不存在内部的能源。恒星的核区就会开始坍缩恒星就会进入后一阶段的演化