分形的世界
谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。
——约翰·阿奇博尔德·惠勒（John Archibald Wheeler）
约翰·阿奇博尔德·惠勒，美国物理学家、物理学思想家和物理学教育家，1933年获得约翰斯·霍普金斯大学博士学位，是为数不多的同时对量子论和（广义）相对论有深入研究的物理学家之一。
他留给世人的宝贵财富是关于未来物理学的“三个问题”：存在如何，量子如何，观察如何创造？
与此同时，他提出了解决问题的“四个没有”的原则和“五条线索”。
这些思想虽然已经构成了一个庞大的系统，各个部分之间有着紧密的联系，但是还没有形成完整的体系，依然包含着众多的猜想和可能性。
这些猜想和可能性是其魅力的来源：不是给出了答案，而是向我们提出了问题。
正如其《我们的宇宙：已知与未知》一书中指出的，茫茫宇宙中发生的奇迹，胜过人们在“最狂野的梦里所能想象出来的最灿烂的焰火”。
与其同时代的物理学家相比，他的名气远远不如他的博士后合作导师玻尔，他的同事爱因斯坦，也远远不如他的学生物理顽童费曼。
在霍金流行全球之后，很多人都知道了“黑洞”的存在，但是很少有人知道这个词出自惠勒之手。这是一位默默无名却有伟大贡献的物理学家。
那么这位老先生何以对熵和分形概念如此重视呢？
上周我们大致了解了什么是熵，这周就一起来学习一下分形吧。
分形，具有以非整数维形式充填空间的形态特征。
通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。
分形（Fractal）一词，是法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗（Benoit Mandelbrot）创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义。
数学家很早就认识到，在自古以来构成数学和物理学基础的经典欧几里得几何的规范边界之外还有几何形状。
我们许多人曾经痛并快乐地学习的传统知识框架认为，所有的线和面都是光滑流畅的。
作为现代分形概念的一部分，产生中断和褶皱概念的新奇观念被数学家从严格数学中延伸出来，但在真实世界中并没有被普遍认为起着重要作用。
直到伯努瓦·曼德尔布罗提出了重要的洞见：褶皱、中断、粗糙和自相似性，即分形，事实上是我们生活的复杂世界的普遍特点。
很长一段时间以来，“自然哲学”一直是人类智力劳动的重要领域，几乎所有人都熟悉西蓝花、血管网络、小溪、河流和山脉，这些现在都被认为是分形。
然而，几乎没有人思考过它们的结构和组织的普遍规律，也没有用数学语言来对它们进行描述。
就像更重的物体下降速度更快这样的亚里士多德式的错误假设一样，根植于欧几里得几何的柏拉图式的平滑理想状态在我们的灵魂深处根深蒂固，我们必须要等待很长时间，等到某个人真正检验其是否属实。
实际上，在自然界中，几乎没有什么东西是平缓的——大多数事物都是有褶皱的、不规则的、细圆齿状的，通常都以一种自相似的形式存在。
大多数自然物体都没有绝对的客观长度，在陈述测量结果时，很重要的一点是要报告分辨率是多少。
人们为何花了超过2000年的时间才意识到如此基本、现已显而易见的事情呢？
这很可能源于二元论，随着我们逐渐从与自然世界的紧密联系中分离出来，越来越远离决定生物学的自然之力，这种二元论开始出现。
当我们发明语言，学习如何利用规模经济的优势，组成社区，开始制作手工艺品时，我们事实上改变了我们日常生活及其周边环境的几何形状。
在设计和制造人类工程学产品时，无论是原始的罐子和工具，还是现代化的复杂汽车、计算机和摩天大楼，我们都使用并且追求直线、平滑曲线和平滑表面的简单性。
量化测量的发展及数学的发明，尤其是欧几里得几何的理想化范式，完美地展现了这一点。
这种与我们创造的手工艺品世界相适应的数学，伴随我们从一种哺乳动物进化到社会智人。
在这个人工制品的新世界中，我们不可避免地习惯于通过蒙蔽我们的欧几里得几何（直线、平滑曲线和平滑表面）的滤镜观察世界，至少科学家和技术专家如此。
而我们所处的环境是一个混乱、复杂、令人费解的世界，这在很大程度上是留给艺术家和作家想象的领域。
尽管度量在这一新鲜的、更加常规的人工世界中扮演着核心角色，但它具有欧几里得几何简单明了的特点，因此无须担心精度等刁钻的问题。
在这个新世界中，长度便是长度，仅此而已。
然而，在我们周围直观的“自然”世界中却并非如此，它高度复杂，而且被褶皱、波纹和小褶皱主导。
正如曼德尔布罗简单明了地概述：“平缓的形状在野外很少见，但在象牙塔和工厂中极为重要。”
曼德尔布罗熟悉充满抽象、褶皱、非欧几里得曲线和平面的奇怪世界。
他的伟大贡献在于，他意识到学术数学家一直不那么认真应对的似乎与现实没有关联的奇怪几何图形事实上和现实紧密相关。
他意识到这些论点具有普遍意义，远远不仅是边界线和海岸线，而且可以延伸至任何可测量的物体，甚至包括时间和频率，这些例子包括我们的大脑、弄皱的纸球、闪电、河流网络及心电图和股市等时间序列。
据曼德尔布罗自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。
他想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。
例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星等。
它们的特点都是极不规则或极不光滑，直观而粗略地说，这些对象都是分形。
褶皱中断而非光滑流畅，这也正是你我生活的这个世界的特点。
▼