暑假特辑1 旋转题在初一阶段的运用（借助GIF动态分析）

“图形的旋转”是中考考查的重要内容之一，从简单的中心对称图形选择题，到涵盖动态，全等，相似，圆等知识点的压轴题，都有所涉及．2017年无锡中考第25题的“T变换”，就是以旋转为背景．这一讲，我们就将其与动态问题，角度计算综合，来看看初一阶段有哪些题值得探究．

例1：如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．将三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为设运动时间为t(s)，则t＝_____时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．

【分析】要通过逆时针方向的旋转使得直线ON平分锐角∠AOC，则直角三角板的边ON的位置有2种可能：①在∠AOC平分线反向延长线上；②在∠AOC平分线上．且第二种情况中，ON旋转的角度比前一次多180°．

【解答】

①如图2，边ON的反向延长线平分∠AOC，

作∠AOC的平分线OD，

∵∠AOC＝60°，∴∠AOD＝∠COD＝30°．

∴∠AON＝150°，

∴∠EON＝60°

即逆时针旋转60°，

10t＝60°，

t＝6；

②如图3，边ON平分∠AOC，

∴∠EON＝120°，

即逆时针旋转240°，

10t＝240°，

t＝24．

综上t＝6或24．

例2：如图4，直线EF与MN相交于点O，∠MOE＝30°，将一直角三角形的直角顶点与点O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角形和直线EF同时绕点O，分别以每秒3°和9°的速度沿顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止运动，设运动时间为t(s).

（1）当t为何值时，EF平分∠AOB？

（2）当t为何值时，EF平分∠NOB？

【分析】本题与例1类似，可将直线EF的旋转看作射线OE的旋转，则OE的位置有2种可能．但由于∠AOE，∠EOB，∠NOB的边在旋转中不断变化着位置，因此，需要用含t的代数式表示出这几个角相应的度数．

我们用GIF的动态图来演示下整个运动过程．

【解答】

（1）①如图5，OE平分∠AOB，

∠MOE＝9t＋30，∠MOA＝3t，

∠AOE＝∠MOE－∠MOA

＝6t＋30.

例3：如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．

（1）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON＝30°，如图②，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；

（2）将图①中的三角尺OMN绕点O按每秒30°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第_____秒时，边MN恰好与边CD平行；在第____秒时，直线MN恰好与直线CD垂直．

【分析】（1）本小问不难，根据旋转角和∠N是内错角，且相等，从而得出两直线平行，即MN∥BC，再根据两直线平行，同旁内角互补解答；
（2）首先根据题意作图，即分两种情况，第二次旋转的度数是在第一次旋转的基础上加180度，再根据时间＝旋转角÷旋转速度计算即可得解．

【解答】（1）∵∠BON＝∠N＝30°，
∴MN∥BC，
∴∠CEN＝180°－∠DCO＝180°－45°＝135°

(2) 如图③，延长CD交MN于点E，

若MN∥CD，则∠MED＝∠CDO＝45°

∵∠N＝30°

∴在△EON中，∠EON＝∠MED－∠N＝15°

∴旋转角∠MOD＝90°－15°＝75°

设时间为t

30t＝75，t＝2.5

图③

如图④，则旋转角为75°＋180°＝255°

30t＝255，t＝8.5

图④

如图⑤，延长DC交MN于点E．

在四边形EMOD中，

∠MOD＝360°－∠DEM－∠M－∠D

＝360°－90°－60°－45°

＝165°

∴旋转角∠MOD＝165°

设时间为t

30t＝165，t＝5.5

图⑤

如图⑥，则旋转角为165°＋180°＝345°

30t＝345，t＝11.5

图⑥

例4：如图是一个舞台，上下两边a、b平行．在A、B两点处各有一个旋转灯，其灯光为一条射线，开始表演前，两灯均指向正右方．开始表演的瞬间，A灯开始顺时针旋转，速度为4°/分钟，B灯开始逆时针旋转，速度为5°/分钟，A灯转半圈停止，B灯转一圈停止．

（1）开始表演后t分钟，两灯灯光所在直线平行，求t.

（2）当B灯在旋转过程中某一时刻正好照向A点，A灯灯光与B灯灯光正好垂直，若此时A灯灯光照向直线b上的M点，求∠AMB的度数．

【分析】第一小问，我们应该分两种情况考虑．（1）由于B灯转速快，则相同时间，B灯旋转角度数比A灯旋转角度数大．根据我们之前的结论“如果两个角的两边分别平行，则两个角相等或互补”，显然第一种情况是两个旋转角互补．（2）B灯旋转角度数超过180°，则用360°减去B灯旋转角的度数与A灯旋转角度数相等．

第二小问，根据题意，结合作图，不难发现A灯旋转角的内错角是∠ACB，因此，保证B灯旋转角的度数与A灯旋转角度数和为90°即可．

最后，还是惯例，上GIF分析整个过程！

【解答】（1）∠EAC＝4t，∠DBF＝5t

①4t＋5t＝180，t＝20

②4t＝360－5t，t＝40

（2）5t＋4t＝90

t＝10

∠AMB＝4t＝40°

例5：如图1，已知直线m⊥n，垂足为点A，现有一个直角三角形ABC，其中∠ACB＝90°，∠B＝30°，现将这个三角形按如图1方式放置，使点C落在直线m上．
操作：将△ABC绕点A逆时针旋转一周，如图2所示．
通过操作我们发现，当旋转一定角度α时，△ABC会被直线m或n分成两个三角形，其中一个三角形有两个角相等，请直接写出所有符合条件的旋转角度α．

【分析】这道题，我们首先考虑出旋转角度小于90度的2种情况．接着，我们可以用“捆绑旋转”来考虑，即将△ABC与直线n捆绑在一起旋转，由直线n旋转90°到m，再旋转180°到n，再旋转270°到m，那么与n捆绑的△ABC依然符合题意，那么求出最先满足情况的2个旋转度数后，则再加上90°，180°，270°即可．

【解答】

（1）∠1＝∠2＝45°，∴∠3＝45°

则旋转角为45°，135°，225°，315°

（2）∠1＝∠B＝30°，∠2＝30°，∠3＝60°

则旋转角为60°，150°，240°，330°

综上，

所有符合条件的旋转角度α为45°、60°、135°、150°、225°、240°、315°、330°．