暑假特辑14 勾股树与勾股数
在《 暑假特辑9 从全等图形到分形几何 》（链接可点击）中，我们最后给出了分形几何的几个动态图，其中有一张是这样的：
我想，在看完《暑假特辑13 有趣的《勾股定理》及证法》之后，聪明的你应该知道，这是什么动态图了．
对，这是由勾股定理的基本模型——三正方形顶点相连，经过不断迭代产生的图案；由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，叫作勾股树，也被称为毕达哥拉斯树．
我们再来欣赏下其他形状的勾股树．
勾股树充满了数学美！
有同学会问，勾股树是属于《勾股定理》中形的部分，有没有其他属于《勾股定理》中数的部分内容呢？
有！答案是勾股数．
勾股数，顾名思义，就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．
先给出几组初中阶段常见的勾股数：
第一组：3，4，5
5，12，13
7，24，25
9，40，41
第二组： 8，15，17
12，35，37
16，63，65
其他常见：
6，8，10 (3，4，5的两倍)
9，12，15 (3，4，5的三倍)
10，24，26 (5，12，13的两倍)
我们能不能把前两组这些勾股数的特征用字母n的代数式来表示呢？
第一组，每行的第1个数均为奇数，则第n行的第1个数可表示为2n＋1，每行的第二个数，我们可以这么来思考，
4＝4×1，
12＝6×2，
24＝8×3，
40＝10×4，……，
则第n行的第2个数可表示为
(2n＋1＋1)·n＝2n²＋2n，
则第n行的第3个数可表示为
2n²＋2n＋1．
接下来，该如何验证这三个数是勾股数，即满足勾股定理呢？
方案一：
证明 (2n＋1)²＋(2n²＋2n)²
＝(2n²＋2n＋1)²
方案二：
证明 (2n＋1)²
＝(2n²＋2n＋1)²－(2n²＋2n)²
你选择哪个方案？
显然，我会选择方案二，因为此时等式右侧可以用平方差公式化简啊！
受以上例题的启发，你能完成以下练习吗？
1．你可以写出所有含有12的勾股数吗？如果能，请写出解答过程．
(本题选自常州第一届数学行者聚会，扬州万广磊老师讲座)
2．一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为______．
(本题选自常州第一届数学行者聚会，扬州万广磊老师讲座思考题)
分析：
我们不妨反过来思考，假设这两个完全平方数是a²，b²(a＞b)
接下来，你会根据题意列出关于a²，b²的式子吗？