八上17讲 2017年终篇：一次函数面积专题 —

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不知不觉间，2017年就要过去了，仔细回想这一年，经历了太多太多．从五一写下第一篇公众号起，至今也已经整整7个月，在此，衷心感谢各位关注者的支持，2018，期待明天更美好．

上周由于家中有事暂停了一讲，这一篇就作为年终篇，我们以一次函数中的面积问题为切入点，来看看其背后蕴含的丰富解法．

一．问题分析

我们知道，一次函数的图像是一条直线，其与坐标轴围成一个三角形，若要求这个“坐标三角形”的面积，则只要知道其与x轴，y轴的交点坐标即可，难度不大，故不展开．

但如果有两条直线相交，你会求它们与坐标轴围成的三角形面积吗？

甚至如果有三条直线相交，你能求出这三条直线围成的三角形面积吗？

本讲就主要研究后2类问题及其变式．

二．实例感悟

(1)两线与一轴

即有两条直线相交，分别求两直线与x轴，y轴围成的三角形面积．

例1：

已知直线y1＝－x＋3与y2＝x＋1，求两直线与坐标轴围成的三角形面积．

分析：

显然，我们要先求出5个关键点的坐标，y1与x轴交点A的坐标，与y轴交点B的坐标，y2与x轴交点C的坐标，与y轴交点D的坐标，以及y1与y2的交点E的坐标．并确定△CEA是两直线与x轴围成的三角形，△DEB是两直线与y轴围成的三角形．

小结：

我们发现，三角形的底和高是可以不断变化的，如果两个点均在x轴上，则用横坐标相减的绝对值表示两点间的距离，若两个点均在y轴上，则用纵坐标相减的绝对值表示两点间的距离，当然，明确左右和上下的情况下，右减左和上减下，可保证为正．

变式1：

直线y1＝k1x＋b1(k1＞0)和直线y2＝k2x＋b2(k2＜0)相交于点(－2，0)，且两直线与y轴所围成的三角形面积是4，求b1－b2．

解析：

变式2：

在平面直角坐标系中，一条直线经过A(－1，5)，B(－2，a)，C(3，－3)三点，这条直线与y轴交于点D，求△OBD的面积．

解析：

同样操作，先将这条直线的解析式求出，从而知道点B的坐标，与y轴交点D的坐标，画出草图，谁为高，谁为底，一目了然．

变式3：

直线y＝kx＋3(k＜0)与x轴，y轴分别交于A，B两点，OB：OA＝3：4，点C为直线上一动点，若△AOC面积为4，求点C坐标．

分析：

首先，可知点B坐标(0，3)，OB＝3，则OA＝4，再根据k＜0，确定图像经过一二四象限，A(4，0)，从而可求直线AB的解析式，画出图像，我们发现，△AOC以AO为底，则高要用点C纵坐标的绝对值来表示．

解答：

(2)三线两相交

即三条直线两两相交，求出三条直线围成的三角形面积．

其实，这个问题可以转化为给出平面直角坐标系内任意三点的坐标，求出以这三个点为顶点的三角形的面积．由于此时的三角形的底边均为倾斜的，这就需要用到一种全新的方法——铅锤法，或称宽高法来求三角形的面积．

例2：

已知直线OA经过一三象限，A为第一象限内一定点，动点B不在直线OA上，且BA，BO不与y轴平行，求S△OAB

分析：

显然，这时候的三角形OAB的底并不在x轴，y轴上，即便求出底边长，高依旧是倾斜的，十分难算，因此，我们可以考虑割补法．

如果采用补，补成一个矩形，减去周围三个小三角形的面积那也是可以的，但在今后，尤其是初三求二次函数图像上三点围成三角形面积最值时，点的坐标不能确定，就无法适用，所以今天重点介绍铅锤法．

什么是铅锤法呢，就以例2来说，我们可以过点B作一条铅锤线，即作BD⊥x轴，与OA交于点C，则△OAB的面积就可以看作是△OBC与△ABC的面积之和或面积之差，此时，铅垂线BC反而转化为底边，再过点A作AE⊥x轴，则OA水平方向上的距离：即OE的长，可以看作OD与DE的和，或差，此时OD反而看作△OBC的高，DE看作△ABC的高，则△OAB的面积即可看成是