角平分线、平行线与等腰三角形

在等腰三角形的学习中我们经常会接触到不同的几何模型，模型的研究变形有助于我们更为深入地理解基本的图形关系和性质定理。下面介绍由角平分线、平行线构造等腰三角形的一类几何模型。

例、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.

这是我们教材中的例题，作为文字命题，要作出对应的图形，写出已知求证，进而求解。

已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥ BC．

求证：AB =AC.

本题的求解很简单，只需要运用平行线的性质，再由角平分线最终得到∠B=∠C，然后运用等腰三角形的判定即得。

本题就是有角平分线和平行构造等腰三角形的典型例题。下面再对这一结论作更深入的变形和拓展。

1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.

请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系

等腰三角形有△ABC、△AEF、△BOC、△BEO、△CFO

EF=BE+CF

变式、若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？原题中结论还成立吗？

等腰三角形有△BEO、△CFO

EF=BE+CF仍成立

将上题中平分两内角改为平分两外角，或平分一内角和一外角，我们即得下面两道变式题

2、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F。试探究EF、BE、FC之间的关系

3、如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F。试探究EF、BE、FC之间的关系

同学们在日常的学习中若能开动脑筋，从变化中思考不变的关系，从条件改变中找到结论变化的规律，树立理性探究、发散思考的学习数学精神，相信几何的学习自当事半功倍！

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