【初三必读】“纵横比”“矩形大法”破解翻折问题

来源：数学三剑客（ID：Math-119）

上一讲，我们介绍了特殊的“12345”模型，本讲，我们介绍更一般的“矩形大法”，结合“纵横比”，破解翻折类问题！

作者：万伟华，南昌市第二十八中学教师，著有个人作品《点线式秒杀中考数学压轴题》

作为几何知识的重要组成部分，翻折问题历来是全国中考命题的热点。但绝大多数学生对此类问题毫无头绪，丢分情况十分严重，为此笔者进行了一些有益的尝试，试图为学生打开破解之道。限于篇幅，本文仅探究直角三角形的翻折问题。

首先，我们必须引进一个非常重要的数学工具——“纵横比”，所谓“纵横比”就是指依附直线上任意两点，构建直角三角形，使得横直角边平行x 轴，纵直角边平行y 轴。“纵直角边”与“横直角边”的长度之比。

“矩形构造法”之对称：一般在涉及某点关于直线对称点求解的问题，可通过构建某点关于直线的“纵横比”，得到横平竖直的直角三角形后进行翻折对称，再构造翻折后直角三角形的外接矩形，得到相似，从而求解。其解题的核心思想是“斜转直”。(将原题中倾斜的直角边之比，通过构造直角三角形的外接矩形，得到相似，从而转化成横平竖直的直角边之比,又称为“纵横比”)此处所列举的例题希望大家认真领会，并通过这些例题得出解决对称点问题的一般通法。

以下，我们一起来领略“纵横比”的神奇！

解题反思：我们在处理一点关于倾斜的直线对称问题过程中，可通过翻折的手段，再根据纵横比思想，构造其外接矩形加以处理。那么，此方法是不是解决此类问题的基本通法呢？

我们不妨再看下一个问题 。

由此我们得到一点关于倾斜的直线对称问题的基本通法：

其基本解题步骤：第一步，构造已知点的“纵横比”，即依附这点构造横平竖直的直角三角形；第二步，将该直角三角形进行翻折，并构造出翻折直角三角形的外接矩形；第三步，利用一线三直角，得出相似，并根据相似比由小到大巧设各条边，列出二元一次方程组求解。

初中阶段，处理点到直线距离的求解方法主要有两种：

第一， 通过构造该点的纵横比，得出这个直角三角形的面积，再求出斜边，从而求解。

第二， 通过构造该点的纵横比，而后将该三角形进行翻折，再进行矩形构造法，得出其对称点坐标，最后根据两点间距离公式求解。

通过以上探究，我们不难发现，求解任意一点关于直线对称点问题，可通过矩形构造法，同时可以得出一个“副产品”，即点到直线距离，当然用矩形构造法求解点到直线距离稍显麻烦；如果题目仅需要求出点到直线距离，可通过面积方法求解.

接下来，我们一起探究圆切点的求解问题，众所周知，经过圆外一点，可以作该圆的两条切线，两切点关于圆心与该点的连线对称，因此求解圆的切点问题与翻折问题实质等同。

解题反思：这两道题都是求解圆切点问题，我们仅需要构造倾斜直角三角形的外接矩形，问题很快解决，可见这两个问题实质等同。

解题反思：以上三道题目都是求解圆切点问题，圆的位置各不相同，神奇的是，我们居然可以采用同样一种方法处理这些问题，可见利用纵横比思想，利用矩形构造法的确是解决此类问题的通法。最后我们来领略一下2016 年天津市中考数学压轴题，共同感受矩形构造法的神奇魅力。

由此可见，矩形构造法作为一种威力强大的通法，在众多压轴题中可以大显身手，其解题核心思想就是“改斜归正”。将倾斜的直角边转化为横平竖直的纵横比，利用两直线垂直，纵横比互为倒数的基本结论，可以快速解决此类问题。

我们已经领略到矩形构造法的巨大威力，不仅非常实用，而且大大简化了思考过程.作为一种强悍的通法，倘若我们不去深究其内涵，必将带来巨大的遗憾，接下来，我们继续探讨矩形构造法的其他应用。

解题反思：通过以上两道例题的分析和解读，我们不难得出一个基本事实，矩形构造法作为一种实用快捷的通性通法，在中考当中具有举足轻重的地位，熟练掌握矩形构造法，必将为为你的大脑装上强劲的引擎，轻松应对此类问题。

既然矩形构造法具有如此强悍的使用价值，那么面对其他问题是否也能应付自如，大家不妨跟随笔者的思路继续探讨。

解题反思：某些直角梯形的翻折问题可以转化成直角三角形的翻折问题，而后对其进行矩形构造，回归到我们十分熟悉的知识体系，由此可见，矩形构造法不仅适用于直角三角形的翻折，对直角梯形的翻折问题同样适用，此时我们忍不住想再看看是否还有其他题目可以验证这个神奇的思路呢？2016 年徐州市中考压轴题正是一个绝佳的素材，我们一起来探究一番。

解题反思：以上两道都属于直角梯形的翻折，从本质上来说，直角梯形的翻折与直角三角形的翻折完全一样，我们仅需要将其图形补充完整，回归到我们的知识体系下，问题将迎刃而解。