杨俊—— 一文帮你弄懂定角定弦模型

一文帮你弄懂定角定弦模型

广东深圳   杨 俊

问题:在△ABC中,∠A=60°,BC=2.

① 求△ABC周长的最值;

② 求△ABC面积的最值。

这个模型就是我们所谓的定角定弦模型,也就是在一个三角形中一个角和它的对边保持不变,在BC边固定的同时,虽然∠A的大小不变,但顶点A的位置可以发生变化,那么顶点A的位置如何变化可以保持∠A的大小不变呢?由初中平面几何知识可知:同弧所对的圆周角不变,故顶点A可以在△ABC的外接圆的BC这段弦所对的优弧上运动(不包括B,C两点)。

    掌握了这个知识点,第二问就立刻可以得到解决,很明显,当高线AD过圆心时有最大的高,即h≤R+d其中d为圆心到弦BC的距离。

 当然,我们也可以使用高中知识来解决这个面积的最大值问题。

    由余弦定理可得

那周长的最大值如何求得呢?从图像上一下不容易确定取到最大值的位置,那么我们通过计算来求得该最值。

由正弦定理可得

可知,当△ABC为等边三角形时有最大周长6.由于B>0°,故周长最小值为4,即点A无限接近点B或者点C时有周长的最小值4,但注意这个最小值是取不到的。

总结:对于定角定弦模型,当等腰三角形时有最大的周长和面积。

 那么,不掌握这个背景,直接使用不等式的知识能否解决问题呢?可以的。

故周长的最大值为6,当且仅当b=c即等腰的时候取等号。

  那这个b+c的最大值有没有初等解法可以解决呢?可以的。

我们延长BA至点D,使AD=AC,连接DC,易得∠D=30°,很明显,当∠DCB=90°BD为直径时有b+c最大值,此时b+c=4,b+c的最大值为4.

 那么,这里的全部内容你都搞清楚了吗?如果真的搞懂了,那么遇到下面这道题。

在△ABC中,b2+c2-bc=4.

①求△ABC周长的最值;

②求△ABC面积的最值。

    你能识别出这本质就是∠A=60°,BC=2的定角定弦模型吗?

【来源】公众号:邹生书数学。

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