如何通过迭代求逆矩阵？

计算一般矩阵的逆只能通过计算矩阵的伴随阵吗？实际上，我们也可以从方程的角度来思考求矩阵逆的问题。矩阵的逆实际上就是方程

的解。而求解此方程我们可以考虑牛顿法。

1 牛顿法

设是可微映射。设是方程的解，是方程的一个近似解。在处可以将方程线性化：

移项解得

这样就可以得到一个迭代式

为保证上述迭代真的可以求出方程的解，我们需要证明：的邻域，使，通过(4)进行迭代，都会有

下面证明牛顿法的正确性，不关注证明细节的读者可以跳过该部分。

定理：如果是的可微映射，且可逆，则牛顿迭代是局部收敛的。

证明：记

对任意，存在时，

，

于是

所以

因此

可见牛顿法是局部收敛的。

2 迭代式的构建

构建迭代式的关键是要找出函数的微分。

显然

注意到，两边同时求微分得

故

代入近似解处局域线性化后的方程得

变形得

先两边同时右乘得

将移到左边，在左乘可得

因此迭代式即

数值实验

前面我们已经推出了迭代式，也验证了牛顿法的局域收敛性。本节我们就通过实际计算来验证一下迭代法的效果。

题：使用迭代法计算矩阵的逆。

解：不妨令

这实际上已经比较接近的逆了，这是因为迭代是局域收敛的，初始值偏差过大会导致发散。

迭代式为

进行迭代，结果见文末表格。

由于计算精度所限，误差的范数无法进一步缩小。为直观展示迭代的精确度变化，可以绘制误差的范数的对数关于迭代次数的图象。

精确度曲线

可以发现刚开始迭代时，精度迅速提高。迭代达到一定次数，受限于计算精度，迭代结果的精度提高放缓甚至不再变化。

迭代结果