反演变换的证明
如图，所谓反演，是指图中以圆心 为端点的射线上，两点 、 满足 ，则称 、 两点互为反演点，其中 是圆的半径，圆 称为反演圆，点 则称作反演中心。一个图形上面所有点与关于同一圆的反演点组成的图形，互为反演图形。
反演在作图等方面有着重要的作用，因为从前面的定义可以看出：(除圆心外)互为反演的两个点总是成对出现且一一对应的，而另一个重要的性质是，圆和直线经过反演变换后得到的图形仍然是圆或直线：
经过点 的直线反演后得到自身； 不经过点 的直线反演后得到过 的圆； 经过点 的圆反演后得到的是一条直线； 不经过反演中心 的圆反演后得到的是一个不过反演中心的圆。
其中第一条是显然的，第二条和第三条互逆。目前就笔者所见范围，网络上虽然有一些关于反演变换的文章，但很少证明这几条结论的，而且证明起来也实属不易。笔者用复数方法证明获得成功。现将证明过程和心得分享如下。
首先要提到的是，所以想到复数证明，是因为如果用初等证明方法，可能需要对两圆不同位置分别分析，极为繁琐，而解析法(坐标法)因为涉及到圆，所以离不开二次方程，即便是用极坐标方法，只可以简化其中一个圆的方程，另一个圆仍然躲不开二次方程。而复数因为涉及的距离总是用模来表示，可以避开二次方程问题。当然到后面可能会再出现二次方程，但不管怎样，起码暂时是避开了。
方法一
为简单计，现以反演圆的圆心为原点，以两圆圆心连线为 轴，设反演圆方程为 ， 在另一个已知圆 上，并 经反演后为 ，根据题意可以列出以下方程：
( 和 在一条直线上， 为正实数)……(1)；
( 和 的模乘积等于反演圆半径的平方)……(2)；
( 在已知圆上，其中 、 均为实数)……(3)。
我们接下来的目的在于，消去 、 两个变量，剩下一个含 的等式，这就是我们要求的方程。
根据(1)我们得到 ，将(1)带入(2)得到 ……(4)。
将(1)带入(3)，得到 。
现在将(5)用坐标表示出来：
，即 ，
根据(4)知道 ，所以得到：，
即：
这个方程一定对应着圆吗？未必。如果 的话(圆 过原点)，该方程将消去二次项，于是变成一条平行于 轴的直线。而这正好对应着文章开头的第三条反演性质。除去以上情况，根据反演的定义可以知道，圆 的最左端点 反演后是 ，该圆最右端点 反演后是 ，这两个反演点的中点是 ，恰好是前面得到的圆方程的圆心。说到这里，或者有人会从“量纲”方面发出疑问，觉得如果 、 如果都是长度的话，为什么得到的圆心坐标是长度倒数？这里的原因在于我们开始所设圆 半径为一个纯粹的“”。
这种方法的关键有这样几点：一是开始如何把几何语言翻译成复数语言，并建立适当的坐标系以简化计算；二是在结束时要再把方程翻译成几何结论；三是要有一定的计算技巧，而首要的是明确目标——消去 和 。
为从不同角度研究问题，下面我们用传统几何方法来证明，不妨以圆 和圆 相离为例。(这当然不是我的原创，但我现在找不到出处了，向读者道歉)
方法二
如图，设 两点是圆 与连心线的交点，对应的反演点则是 (注意其左右顺序相反)。设圆 上除 、 外任一点 的反演点为 ，连接 。容易知道 、、共线。下面证明 在以 为直径的圆周上。
因为 是公共的，，
即 ，
所以三角形 与 相似，(边角边)
即 。(至此完成第一步证明)
又因为 ，
所以 、、、 四点共圆，(圆幂定理之逆定理)
所以 。(圆内接四边形外角等于内对角，至此完成第二步证明)
因为 ，(直径所对圆周角是直角)
且 ，(三角形外角等于不相邻内角的和)
其中 ，，
所以 。(至此完成第三步证明)
即 在以 为直径的圆上。
得证。
以上用到了初等几何中的很多定理，很不好想到，特别是两次应用反演表达式而有相似三角形与四点共圆之别，且所得结果是否适用于两圆其它的位置关系尚不能确定，可见其难度和繁琐(如果利用阿波罗尼奥斯圆或者反射的方法，当能简化)，对比之下更显方法一简洁利落。但方法二多用文字叙述，很有一种“古朴”的美学意味，且虽经曲折而终至达成目标，称得上“意料之外，情理之中”，这也算是一种魅力吧。
这两种方法的另一个区别就是，一般来说，方法一可以在解题之前不知道结论就能直接算下去，而方法二往往需要事先知道结论才能向着目标前进。假设方法二在做题之前并不知道结论，则怎么能想到去找 ？
最后要说的是，本人虽然忝列中学教师之职，却和数学无甚关系，希望前面内容不至于见笑于各位读者。