数学四大思想八大方法

学习一门知识，究其核心，主要是学其思想和方法，这是学习的精髓。学数学亦如此，分学数学思想和数学方法。

数学思想是指客观世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。

数学方法是指用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法。

高中数学的四种思想方法：

1.函数与方程思想

1.1 函数思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。

函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼。在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。

1.2 方程思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。

方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。

2.数形结合思想

数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面。

数与形在一定的条件下可以转化，数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。

如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题。而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。

在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系。在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。

数形结合中，选择、填空题侧重考查数到形的转化。在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。

3.分类与整合思想

分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法。

分类的原则：分类不重不漏。

分类的步骤：①确定讨论的对象及其范围；②确定分类讨论的分类标准；③按所分类别进行讨论；④归纳小结、综合得出结论。

分类讨论问题的关键是化整为零，通过局部讨论以降低难度。常见的类型：

3.1 由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点(直线、圆)与圆的位置关系等概念的分类讨论；

3.2 由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题；

3.3 由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论；

3.4 由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。

3.5 由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的影响，二次项系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响等。

4.化归与转化思想

化归与转化思想是一切数学思想方法的核心。

数形结合的思想体现了数与形的转化。

函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化。

分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化。

所以，以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。

转化包括等价转化和非等价转化。

等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是必要的。

不等价转化就只有一种情况，因此，结论要注意检验、调整和补充。

转化的原则：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的、易解的和已经解决的问题。将抽象的问题转化为具体的和直观的问题。将复杂的转化为简单的问题。将一般的转化为特殊的问题。将实际的问题转化为数学的问题等等，使问题易于解决。

常见的转化方法：

4.1 直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。

4.2 换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。

4.3 数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径。

4.4 等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的。

4.5 特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题。

4.6 构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。

4.7 坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径。

学习高中数学，从总体上分为两个层次：

表层知识：如知识点概念、性质、法则、公式、公理、定理等等基本内容。

深层知识：主要指数学思想和方法。

在学习概念、性质、公式的过程中应不断渗透相关的数学思想方法。题海战术只会事倍功半，如果题目条件一变化，你就不知所措，说明你忽视了数学思想方法的培养。