二次函数中的四边形存在性问题(以18-20二模为例）

二次函数中背景下的四边形存在性问题往往以平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形的存在性为准。在解决此类存在性问题时，紧扣图形的特征进行计算。

平行四边形的存在性问题主要有以下两类：

①类型1：以A、B、C、D为顶点（即不确定平行四边形）

解决此类问题，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组。

②类型2：ABCD为平行四边形(确定顶点位置的平行四边形）

解决此类问题，围绕平行四边形的性质：对边相等(平行)，利用距离求出相应点的坐标。

矩形的存在性问题等价于直角三角形的存在性问题（其特点往往是2定点2动点），通过构造一线三等角模型或勾股定理，可以求出其中一个顶点的坐标，再根据对称性求出另一个顶点的坐标。(链接：矩形的存在性问题；直角三角形的存在性问题)。

分类的依据往往是以已知两点所在线段为边或对角线进行分类讨论。

解法分析：本题综合考察了图像的平移和矩形的存在性问题。根据题意画出图形后，图像平移后的四边形BCDE为平行四边形，根据对称性可求出E点坐标。由于C、E是定点，因此分类的依据围绕CE为边或CE为对角线进行展开。本题的特殊性在于C、E经过原点，因此利用勾股定理解决难度不大，若未经过原点，则构造一线三等角模型更为简单。

解法分析：本题是以矩形和反比例函数为背景的问题。围绕着矩形的性质，发现图中的相似形和全等形，利用相似和全等的特征进行问题解决。

矩形的存在性问题等价于等腰三角形的存在性问题（其特点往往是2定点2动点），利用邻边相等或对角线互相平分(距离公式)求出需要的点的坐标。

（链接：菱形的存在性问题(一次函数背景)）

分类的依据往往是以已知两点所在线段为边或对角线进行分类讨论。

正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标。

解法分析：本题是二次函数背景下的正方形存在性问题，由于E、G关于对称轴对称，则可知F在对称轴上，依据正方形的对角线互相平分且相等，表示出E点的坐标，再代入抛物线中求解。

等腰梯形的存在性问题围绕着一组对边平行，一组对边相等进行问题解决。常用的方法就是利用举例公式进行求解，(其特点往往是三个动点一个定点)。

(链接：梯形的存在性问题)

①类型1：从腰相等的角度进行计算

②类型2：从底角相等的角度构造等角进行计算