点在线段及其延长线上的分类讨论

动点运动中，运动的范围一般是线段、射线或者直线上，其中以动点在线段和射线上的题型最为常见，射线可看成由线段和线段的延长线两部分组成，需要考虑的情况比较复杂。当动点运动到线段及运动到其延长线上的图像有很大差别，但是要记住口诀“图形改变，方法不变”。

两张图形虽然不同，但是边与边、角与角之间的关系往往没有改变，改变的是线段之间的和差关系。从特殊到一般，这也是我们发现问题、研究问题的一种常用方法。

方法指导：题目中的动点是点D，由于点D的位置移动，使得点H、G可能在线段上，也可能在延长线上。在解题时，不能被题目中给出的图形所“迷惑”，要根据题意画出准确的图形。同时第(2)问题干：点G在BC上，也在提示我们，是否存在点G在CB延长线上的情况？

归纳总结：证明边相等，往往可以从：①全等三角形对应边相等；②等边对等角；③角平分线的性质定理；④垂直平分线性质定理。有了这些知识储备后，就开始选择合适恰当的方法。本题中只能从②等边对等角入手。通过直角三角形斜边中点及外角的性质，可以得到∠C=∠GDC，得到GD=CD.

归纳总结：利用等边三角形边相等，列出等量关系，由于G在BC上，即0≤2x-4<4，故定义域的取值范围是2≤x<4.

归纳总结：第3问没有限定G的位置，因此要进行分类讨论，即G在线段或延长线上两种情况。利用30°角求出BG的值，进而求出CG的长度。

归纳总结：第4问没有限定G的位置，因此要进行分类讨论，即G在线段或延长线上两种情况。

归纳总结：本题同例题相仿。第(2)利用了垂直平分线的性质定理，因此联结了BE，借助勾股定理列出函数关系式。同时第(3)问中E可能在线段上，也可能在延长线上，因此需要分类讨论。

归纳总结：本题同例题相仿。第(1)的②利用了直角三角形斜边中点的性质；第(2)问根据点的位置，分类讨论，根据勾股定理求出线段的长度。

知识链接：特殊三角形三边数量比