十分钟了解微积分的来龙去脉（一）——学会高等数学毫无困难

微积分是现代科学的基础，学习微积分是一个现代人的必修课。

数学在于给出有效的计算方法，并且要解释它为什么有效。比如已知一个直角三角形的两个直角边的长度，我们可以依据勾股定理（勾股定理的发现是长期经验积累的一次创新），计算出斜边的长度，同时，还需要以可理解的方式证明勾股定理，给出其适用的条件。这样，我们的认知才是圆满的，我们看到的世界才不是现象或概念的混合，而是有层次有秩序的运行着的。

图1 勾股定理的证明

微积分的发明也是这样，对于求运动速度，求曲线切线，求曲线长度、所围面积、立体体积，求极大值和极小值等问题，我们可以依据求微分，求导数，求积分的原则进行计算。但要论证它为什么是正确的，就不如勾股定理那样的容易了。

我们以求运动速度为例1，求曲线所围面积为例2来简要介绍微积分的方法。

这便是微分（导数即微分之比）的方法，它有近似和说不清楚的地方，但这种方法是非常有效的：我们可以用这种方法计算曲线的切线斜率（这时只需要把例1中的函数s=s(t)看作一条普通的曲线，计算出来的v(t)即为切线斜率）；我们令v(t)=0，还可以找到曲线上的切线正好水平的位置，它们很可能是极值点；我们令v(t)等于一个特定的数值k，便可以找到斜率为的直线与曲线相切的位置，等等。总之，这种方法在计算上是非常行之有效的，解决了大量的科学问题和工程问题。

这便是积分的方法，它有近似和说不清楚的地方，但这种方法是非常有效的：我们可以用这种方法计算任意图形面积（如例2），计算任意立体体积（只需把例2中的函数v=v(t)看作薄片的面积，每一个薄片体积为v(t)dt，物体体积等于所有薄片体积的积分），计算行星运动曲线的长度（只需把例2 中的v(t)dt看作曲线上一小段弧的长度，把积分区间变为曲线的起点和终点），等等。总之，这种方法在计算上是非常行之有效的，解决了大量的科学问题和工程问题。

图4 牛顿

微分和积分正好是一个相反的运算，这一点通过例1和例2的计算过程可以清楚地看到。同时，在积分计算中，o 的寻找是一个难点，它也不再是无关紧要的，而正好是连接微分和积分的桥梁。o是在微分运算的过程中产生的，这是它的来源，积分之所以比较困难，正在于我们为了简便，在微分和导数运算中忽略了o，当然，它本身就是“小到忽略不计”的量。

图5 莱布尼茨

也正是这“小到忽略不计”的量，引发了历史上的第二次数学危机。面对如此高明的微积分方法，人们却没有办法给予解释，人们不知道微分和是什么，它们究竟是不是0。倘若不是0，则o便无法忽略，不管多么的小，它始终是一个甩不掉的尾巴，计算结果总是近似的相等的，然而应用微积分方法计算的结果却是精确的；倘若是0，则微分之比变成了0除以0，这与代数学中的0不能做分母产生矛盾，同时还会推导出无数荒谬的结论。这个问题一直困扰着人们。

第二次数学危机的根本问题可以概括为，微分是什么？

(未完待续)