一文概括数学的各个研究领域
谈起数学时，你的脑海中会浮现出什么？是复杂的几何形状、繁琐的数值运算、难解的方程、未解的猜想，还是…….？在面对什么是数学这个问题上，我们尽量保持比较广的定义，它包括所有数量、几何和逻辑相关的领域。或许一个最直观的定许是——数学是数学家所从事的研究领域。
那么，数学家究竟都在研究什么呢？或者说数学是由哪些部分组成的？传统上，我们可以将数学分为两大类：研究数学本身的纯数学和应用于解决现实问题的应用数学。但是这种分类法并不十分清晰，许多领域起初是按照纯数学发展的，但后来却发现了意想不到的应用。许多领域之间也有着非常紧密的关系，因此，如果要精确地为数学分类的话，应该是一个复杂的网络。
而在本文中，我们将会带领读者简单地了解数学的五大部分：数学基础、代数学、分析学、几何学和应用数学。
1.数学基础
数学基础研究的是逻辑或集合论中的问题，它们是数学的语言。逻辑与集合论领域思考的是数学本身的执行框架。在某种程度上，它研究的是证明与数学现实的本质，与哲学接近。
数理逻辑和基础（Mathematical logic and foundations）
数理逻辑是这一部分的核心，但是对逻辑法则的良好理解产生于它们第一次被使用之后。除了在计算机科学、哲学和数学中正式地使用了基础的命题逻辑之外，这一领域还涵盖了普通逻辑和证明论，最终形成了模型论。在此，一些著名的结果包括哥德尔不完全性定理以及与递归论相关的丘奇论题。
2.代数学
代数是对计数、算术、代数运算和对称性的一些关键的概念进行提炼而发展的。通常来说，这些领域仅通过几个公理就可定义它们的研究对象，然后再考虑这些对象的示例、结构和应用。其他非常偏代数的领域包括代数拓扑、信息与通信，以及数值分析。
数论（Number theory）
数论是纯数学中最古老、也是最庞大的分支之一。显然，它关心的是与数字有关的问题，这通常是整数或有理数（分数）。除了涉及到全等性、可除性、素数等基本主题之外，数论现在还包括对环与数域的非常偏代数的研究；还有用于渐近估计和特殊函数的分析方法和几何主题；除此之外，它与密码学、数学逻辑甚至是实验科学之间都存在着重要的联系。
群论（Group theory）
群论研究的是那些定义了可逆结合的“乘积”运算的集合。这包括了其他数学对象的对称集合，使群论在所有其他数学中占有一席之地。有限群也许是最容易被理解的，但矩阵群和几何图形的对称性同样也是群的中心示例。
李群（Lie Group）
李群是群论中的一个重要的特殊分支。它们具有代数结构，但同时也是空间的子集，并且还包含几何学；此外，它们的某些部分看起来就像欧几里德空间，这使得我们可以对它们进行解析（例如求解微分方程）。因此李群和其他拓扑群位于纯数学的不同领域的收敛处。
交换环和交换代数（Commutative rings and algebra）
交换环是与整数集类似的集合，它允许加法和乘法。尤其有趣的是数论、域论和相关领域中的环。
结合环和结合代数（Associative rings and algebra）
结合环论可被看作是交换环的非交换类比。它包括对矩阵环、可除环（如四元数），以及在群论中重要的环的研究。数学家开发了各种工具，以便能够研究一般化的环。
非结合环和非结合代数（Nonassociative rings and algebras）
非结合环论进一步地拓宽了研究范围。这里的通用理论较弱，但这种环的特殊情况是至关重要的：尤其是李代数，以及约当代数和其他类型。
域论与多项式 （Field theory and polynomials）
域论研究的是集合（如实数直线），所有一般的算术性质都包含在实直线上，包括除法性质。研究多场对多项式方程具有重要意义，因而它在数论和群论中也都具有应用意义。
一般代数系统（General algebraic system）
一般代数系统包括那些具有非常简单的公理构成，以及那些不容易被包含在群、环、域或其他代数系统中的结构。
代数几何（Algebraic geometry）
代数几何将代数与几何相结合，使二者彼此互利。例如，于1995年被证明的“费马大定理”，表面上看是关于数论的陈述，但其实是通过几何工具才得以证明。反过来，由方程定义的集合的几何性质，是用复杂的代数机制来研究的。这是一个魅力非常的领域，许多重要的课题都非常深奥，椭圆曲线就数其中之一。
线性代数（Linear algebra）
线性代数，有时会被“乔装”成矩阵论，它考虑的是能维持线性结构的集合与函数。它涵盖的数学范围非常广，包括公理处理、计算问题、代数结构，甚至几何的一些部分；此外，它还为分析微分方程、统计过程甚至许多物理现象提供了重要的工具。
范畴论（Category theory）
范畴论是一个相对较新的数学领域，它为讨论代数与几何的各个领域提供了一个通用的框架。
K理论（K theory）
K理论是代数与几何的有趣结合。最初是为了拓扑空间（向量丛）定义，现在也为环（模）定义，它为这些物体提供了额外的代数信息。
组合数学（Combinatorics）
组合数学（或称为离散数学）则着眼于集合的结构，其中某些子集是可区分的。例如，一副图是许多点的集合，其中一些边（两个点的集合）是给定的。其他的组合问题要求对具有给定属性的集合的子集进行计数。这是一个很庞大的领域，计算机科学家和其他数学以外的人对此都非常感兴趣。
序集合（Ordered sets）
序集合（格）可以为例如一个域的子域集合，给出一个统一的结构。各种特殊类型的格都具有异常完好的结构，并且应用在群论和代数拓扑等多个领域中。
3.几何学
几何学是数学中最古老的领域之一，几个世纪以来，它经历了数次重生。从一个极端来看，几何学包括对首次在欧几里得的《几何原本》中出现的刚性结构的精确研究；从另一个极端来看，一般拓扑学关注的是形状之间最基本的亲缘关系。代数几何中也隐含着一个非常微妙的“几何”概念，但如上文所注，它其实更偏向于代数。其他的一些也能算得上是几何的领域有K理论、李群、多复变函数、变分算、整体分析与流行上的分析。
几何学（Geometry）
几何学是一门从多方面研究的学科。这一大块区域包括经典的欧几里德几何和非欧几何、解析几何、重合几何（包括射影平面）、度规性质（长度与角度），还有组合几何学——如从有限群论中出现的几何。
流形（Manifolds）
流形是像球体一样的空间，从局部来看它像是欧几里德空间。在这些空间里，我们可以讨论（局部的）线性映射，还能讨论函数的光滑性。它们还包括许多常见的表面。多面复形是由许多块的欧几里德空间的部分组成的空间。这些空间类型认可关于映射与嵌入问题的精确答案，它们尤其适用于代数拓扑中的计算，能细致的区分等价的各种不同概念。
凸几何与离散几何（Convex and discrete geometry）
凸几何与离散几何包括对在欧几里得空间中的凸子集的研究。它们包括对多边形和多面体的研究，并经常与离散数学和群论重合；分段线性流形让它们与拓扑学交叉。除此之外，这一领域也包括欧几里得空间中的镶嵌与堆积问题。
微分几何（Differential geometry）
微分几何是现代物理学的语言，也是数学领域的一片乐土。通常，我们考虑的集合是流形（也就是说，局部类似于欧几里德空间），并且配备了距离度量。它包括对曲线和曲面的曲率研究。局域型问题既适用又有助于微分方程的研究；整体型问题会经常调用代数拓扑。
一般拓扑学（General topology）
一般拓扑学研究的是只含有不精确定义的“闭合”（足以决定哪些函数是连续的）的空间。通常会研究一些带有附加结构的空间（比如度量空间，或者紧致豪斯多夫空间），并观察一些属性（如紧致）是如何与子空间、积空间等共享的。拓扑学广泛应用于几何学与分析学，也使得出现一些奇异的例子和集论难题。
代数拓扑（Algebraic topology）
代数拓扑是研究附属于拓扑空间的代数对象，代数不变量说明了空间的某些刚度。这包括各种（上）同调论、同伦群，以及一些更偏几何的工具，例如纤维丛。其代数机制（主要来自同调代数）非常强大，使人生畏。
4.分析学
分析学研究的是从微积分和相关领域中获得的结果。我们可以将它进一步划分为5个小部分：
- 微积分与实分析
- 复变量
- 微分方程与积分方程
- 泛函分析
- 数值分析与最优化
【微积分与实分析】
实函数（Real functions）
实函数是微积分课堂会介绍的内容，其中的重点在于它们的导数和积分，以及一般的不等式。这一领域包括常见的函数，如有理函数，是最适合讨论与初等微积分学的相关问题的领域。
测度与积分（Measure and integration）
测度论与积分研究的是一般空间的长度、表面积和体积，是积分理论全面发展的一个关键特征，并且，它还为概率论提供了基本框架。
特殊函数（Special functions）
特殊函数就是超出常见的三角函数或指数函数的特定函数。被研究的那些领域（例如超几何函数、正交多项式等等）会很自然的出现于分析、数论、李群和组合数学领域。
差分方程与函数方程（Difference and functional equations）
差分方程和函数方程都像微分方程一样涉及到函数的推导，但它们的前提却不尽相同：差分方程的定义关系不是微分方程，而是函数值的差。函数方程（通常）在几个点上有函数值之间的代数关系作为前提。
序列与级数（Sequences and series）
序列与级数实际上只是极限法中最常见的例子；收敛性判别准则和收敛速度与找到“答案”同样重要。（对于函数序列来说，找到“问题”也同样重要。）一些特殊的级数（如已知函数的泰勒级数）以及用于快速求和的一般方法可引来很大的兴趣。积分可被用来求级数，分析可用来求级数的稳定性。级数的运算（如乘法或逆运算）也同样是重要的课题。
【复变量】
复变函数（Functions of a complex variable）
复变函数研究的是假设在复数上定义函数的可微性的影响。有趣的是，这种效应与实函数有明显不同，它们受到的约束要严格得多，特别是我们可以对它们的整体行为、收敛性等作出非常明确的评论。这一领域包括黎曼曲面，它们在局部看起来像复平面，但却并不是同一个空间。复变量技术在多个领域（例如电磁学）都具有很大的应用。
位势论（Potential theory）
位势论研究的是调和函数。从数学的角度上看，它们都是拉普拉斯方程Del(u)=0的解；从物理学的角度上看，它们是给整个空间提供（由质量或电荷所产生的）势能的函数。
多复变函数与解析空间（Several complex variable and analytic spaces）
多复变函数研究的是一个以上的复变量的函数。由复可微性所赋予的严格约束意味着，至少在局部上，这些函数的行为与多项式几乎一样。对于相关空间的研究也趋向于与代数几何类似，除了在代数结构之外还使用了分析工具。在这些空间上的微分方程和它们的自同构（automorphism）为其提供了与其他领域的有用连接。
【微分方程与积分方程】
常微分方程（Ordinary differential equation）
常微分方程（ODE）是求解的未知数是一个函数、而非一个数值的方程，其中的已知信息会将这个未知函数与其导数联系起来。这类方程很少有明确的答案，但会有大量的信息来定性地描述它们的解。微分方程有许多重要的类别，它们在工程与科学领域的应用非常广泛。
偏微分方程（Partial differential equations ）
偏微分方程（PDE）的形式与常微分方程大体相同，只是偏微分方程试图求解的函数含有的变量不止一个。在求解过程中，我们也同样需要能定性描述它的解的信息。例如在许多情况下，只有当某些参数属于特定的集合（比如整数集）时，解才存在。它们与自然科学，尤其是物理、热力学和量子力学有着非常密切的关系。
动力系统与遍历论（Dynamical systems and ergodic theory）
动力系统研究的是函数从空间到自身的迭代。理论上来说这一领域与流形上的微分方程密切相关，但在实践中，它的重点在于基础的集合（例如不变集或极限集）以及极限系统的混沌行为。
积分方程（Integral equations）
积分方程自然是要寻找满足其积分关系的函数。例如，每一次的函数值都可能与之前所有时间的平均值有关。这一领域中包括混合了积分与微分的方程。微分方程的许多方面会反复出现，比如定性问题、近似法，以及有助于简化问题的变换与算子等。
变分法与最优化（Calculus of variations and optimization）
变分法与最优化寻找的是可以优化目标函数的函数或几何对象。当然，这还包括对寻找最优结果所需d技术的探讨，例如逐次逼近法或是线性规划。除此之外，还存在大量用来建立与描述最优解的研究。在许多情况下，最优函数或最优曲线可以表示为微分方程的解。常见的应用包括寻找在某种意义上的最短曲线和最小曲面。该领域也适用于经济学或控制理论中的优化问题。
整体分析（Global analysis）
整体分析（或流形分析）研究的是流形的微分方程的整体性质。除了常微分方程理论中的一些适用于局部的工具之外，整体技术还包括使用映射的拓扑空间。这一领域还与流形理论、无限维流形和奇点流形有关，因此也与突变理论相关。除此之外，它还涉及到优化问题，从而与变分法重叠。
【泛函分析】
泛函分析（Functional analysis）
泛函分析研究的是微分方程的全局，例如它会将一个微分算子看作为一组函数的线性映射。因此，这个领域就变成了对（无限维的）向量空间的研究，这种向量空间具有某种度规或其他结构，包括环结构（例如巴拿赫代数和C*-代数）。度量、导数和对偶性的适当一般化也属于这一领域。
傅里叶分析（Fourier analysis）
傅里叶分析利用三角多项式研究函数的近似与分解。这一领域在许多分析应用中都具有不可估量的价值，它拥有许多具体而又强大的结果，包括收敛性判别准则、估计和不等式以及存在唯一性结果。它的扩展包括对奇异积分理论、傅里叶变换和适当的函数空间的研究。这一领域还包括其他的正交函数族的近似，包括正交多项式和小波。
抽象调和分析（Abstract harmonic analysis）
抽象调和分析：如果说傅里叶级数研究的是周期性的实函数，即在整数变换群下能维持不变的实函数，那么抽象调和分析研究的就是在一个子群下维持不变的一般群上的函数。它包括的主题涉及到特异性的不同等级，这又涉及到对李群或局部紧致阿贝尔群的分析。这一领域也与拓扑群的表示论有重合之处。
积分变换（Integral transforms）
积分变换包括傅里叶变换以及拉普拉斯变换、Radon变换等其他变换。除此之外它还包括卷积运算与算子演算。
算子理论（Operator theory）
算子理论研究泛函分析中的向量空间之间的变换，例如微分算子或自伴算子。分析可以研究单个算子的谱，也可以研究多个算子的半群结构。
【数值分析与最优化】
数值分析（Numerical analysis）
数值分析涉及到数值数据的计算方法的研究。这在许多问题中意味着要制造一系列的近似；因此，这些问题涉及到收敛的速度、答案的准确性（甚至是有效性）以及回应的完整性（有很多问题，我们很难从程序的终端中判断它是否还存在其他解决方案）。数学上的许多问题都可以归结为线性代数问题——一个需要用数值方法来研究的领域；与之相关的重大问题是处理初始数据所需的时间。微分方程的数值解需要确定的不仅是几个数值，而是整个函数；尤其是收敛性必须由某种整体准则来加以判断。这一领域中还包括数值模拟、最优化、图形分析，以及开发文件的工作代码等课题。
逼近与展开（Approximations and expansions）
逼近与展开主要考虑的是用特殊类型的函数来逼近实函数。这包括使用线性函数、多项式（不仅仅是泰勒多项式）、有理函数的逼近；其中三角多项式的近似被划分在傅里叶分析中。这一领域包括拟合优度的判别标准、误差范围、逼近族的变化的稳定性、以及在近似情况下保留的函数特性（如可微性）。有效的技术对于特定种类的逼近也是很有价值的。这一领域也同样覆盖了插值与样条。
运筹学/数学规划（Operations research, mathematical programming）
运筹学被喻为是研究最佳资源分配的领域。根据设置中的选项和约束，它可以涉及到线性规划、二次规划、凸规划、整数规划或布尔规划。这一类别中也包括博弈论，博弈论实际上并不是关于博弈的课题，而是关于最优化，它研究的是哪一种策略组合能产出最佳结果。这一领域还包括数学经济学。
5.应用数学
现在我们来谈谈许多人最关心的数学部分——发展能将数学运用到数学领域之外的数学工具。
概率与统计领域考虑的是用数字信息来量化对事件的观察，显然，它们所使用的工具与发展是数学性的，是一个与分析学高度重叠的领域。但另一方面，在这一领域发展的思想，主要被用于非数学领域。
概率论与随机过程（Probability theory and stochastic processes）
概率论应用于有限集合时就是简单的计数组合分析，因此其技术与结果都与离散数学类似。当考虑无穷的可能结果集时，这个理论就得以体现它的价值。它涉及到大量的测度论以及对结果详细严谨的解释。更多的分析是随着对分布函数的研究而进入到这一领域的，极限定理则暗示着集中趋势。应用于重复的转移或随时间的转移会导致马尔科夫过程和随机过程。在考虑随机结构时，概率的概念会应用到数学中，尤其是在某些情况下，它可以产生甚至对纯数学都非常好的算法。
统计学（Statistics）
统计学是一门从数据中获取、合成、预测并作出推论的科学。对平均值与标准偏差的基本计算足以概括一个大的、有限的、正态分布的数据集；之所以有统计领域的存在，是因为数据通常并不会被很好地呈现。如果我们不知道数据集中的所有元素，我们就必须讨论采样和实验设计；如果数据有不正常之处，就需要我们用其他参数或者采用非参数方法对它们进行汇总；当涉及到多个数据时，我们需研究不同变量之间的交互的度量。其他的研究课题包括对时间相关数据的研究，以及避免歧义或悖论的必要基础。它的计算方法（例如曲线拟合）对科学、工程以及金融和精算等领域的工作都具有特别重要的应用意义。
计算机科学（Computer science）
计算机科学，如今它更是一门独立的学科，它研究很多数学方面的问题。在这一领域中，除了从离散数学里的许多问题中所产生的可计算性问题，以及与递归论相关的逻辑问题之外，它还考虑调度问题、随机模型等等。
信息与通信（Information and communication）
信息与通信包括一些代数学家特别感兴趣的问题，尤其是编码理论（与线性代数和有限群有关）和加密（与数论和组合数学有关）。许多适合这个领域的主题都可以用图论的术语来表达，例如网络流和电路设计。数据压缩和可视化都与统计有重叠部分。
质点力学和系统力学（Mechanics of particles and systems）
质点力学和系统力学研究的是粒子或固体的动力学，它包括旋转与振动的物体。会用到变分原理（能量最小化）和微分方程。
固体力学（Mechanics of solids）
固体力学考虑的是弹性与塑性、波传播、工程，以及土壤和晶体等特定固体的问题。
流体力学（Fluid mechanics）
流体力学研究的是空气、水和其他流体的运动问题：压缩、湍流、扩散、波传播等等。从数学的角度来看，这包括对微分方程解的研究，这就涉及到大规模的数值计算方法（例如有限元法）。
光学/电磁理论（Optics, electromagnetic theory）
光学、电磁理论是研究电磁波的传播与演化的理论，它包括的主题有干涉和衍射。除了分析的一些普通分支，这一领域还涉及到一些与几何相关的主题，比如光线的传播路径。
经典热力学/热传导（Classical thermodynamics, heat transfer ）
经典热力学和热传导研究的是热量在物质中的流动，这包括相变和燃烧。从历史的角度来看，它是傅里叶级数的起源。
量子理论（Quantum Theory）
量子理论研究的是薛定谔（微分）方程的解，与此同时它还包括大量的李群理论和量子群论、分布理论，以及与泛函分析、杨-米尔斯问题、费曼图等有关的问题。
统计力学/物质结构（Statistical mechanics, structure of matter）
统计力学和物质结构研究的是粒子的大尺度系统，它包括随机系统和运动或进化系统。研究的具体物质类型包括液体、晶体、金属和其他固体。
相对论与引力理论（Relativity and gravitational theory）
相对论与引力理论将微分几何、分析和群论应用于一些大尺度或极端情况下的物理学（例如黑洞和宇宙学）。
天文学和天体物理学（Astronomy and astrophysics）
天文学和天体物理学：由于天体力学在数学上是质点力学的一部分，因此这一领域的主要应用大多与恒星和星系的结构、演化以及相互作用有关。
地球物理（Geophysics）
地球物理学的应用通常涉及到力学和流体力学，但它是在大尺度上研究问题。
系统论/控制论（Systems theory; control）
系统论以及控制论研究的是复杂系统（如工程系统）随着时间发生的演化。特别是，人们可能会试图对系统进行识别（即确定主导系统发展的方程或参数），或对系统进行控制（即通过选择某些参数以达到期望的状态）。特别令人感兴趣的是稳定性问题，以及随机变化和噪声对系统的影响。虽然这通常属于“控制论”或“机器人学”领域，但在实践中，这是微分（或差分）方程、泛函分析、数值分析和整体分析（或微分几何）的应用领域。
生物学与其他科学（Biology and other sciences）
数学还与许多学科（包括化学、生物学、遗传学、医学、心理学、社会学和其他社会科学）具有明确的联系。在化学和生物化学中，图论、微分几何和微分方程的作用是显而易见的。医学技术必须用到信息传递和可视化的技术。生物学（包括分类学和考古生物学）会使用统计推断和其他工具。经济学和金融学也大量使用到统计学工具，尤其是时间序列分析；有一些主题更具有组合性，例如投票理论。（出于某些原因，数学经济学被归在运筹学的范畴内。）更多的行为科学（包括语言学）都会用到大量的统计技术，其中会涉及到实验设计和其他偏组合类的主题。
以上罗列的便是数学家所从事的研究，但绝对不是唯一的分类标准，而且我们也没能完整地罗列出所有的领域，比如数学家还研究量子代数（quantum algebra）、分形学（Fractal）、数学史以及数学教育等等。
对于许多人而言，数学是个非常抽象、难以理解的学科，特别是现代数学的发展，更是远远超越了非专业人士的理解范围。但对于数学家而言，那些抽象的概念、符号、证明，犹如美妙的乐章一般，使他们沉醉其中。而数学在自然科学中不合理的有效性更是令人难以理解的奇迹。正如诺奖得主尤金·维格纳写道的那样：“数学语言在表述自然规律时的适当性是一项奇迹，它是我们既不理解也不配拥有的奇妙天赐。我们应当感激，也希望它在未来的研究中仍然有效。而且不论是好是坏，当我们尽情拓展知识领域时，即使会令我们困惑，也依旧成立。”