神马？！平面几何竟然有最初等的定理？

作者：大神团·冯伟

作者介绍：冯伟，新东方智慧学堂授课老师，清华硕士。全国初中数学、物理、化学三项竞赛一等奖，中国西部数学奥林匹克银牌，北京市大学生数学竞赛一等奖，全国大学生物理竞赛一等奖，清华大学优秀硕士毕业生。

名字由来

尽管平面几何中的定理数以千计，但真要说哪一个是最基本的(Fundamental)，恐怕没有定理敢如此冠名。不过如果要问哪一个是最初等的(Elementary)，还真有那么一个：

厄克特(M. L. Urquhart)走进我的办公室，问我认为的平面几何中最初等的定理是哪一个。很明显无论我说什么都不是正确答案，他快速的写下了这样一个定理:

厄克特认为，这就是平面几何中'最初等定理 (the most elementary theorem)’，因为仅包含了直线和长度的概念。'

这段话是数学家艾略特 (David Elliott) 在评议数学家厄克特的文章中描述的场景。也是 '平面几何最初等的定理' 这一称谓的由来。

该定理又被称作厄克特定理 (Urquhart's theorem)。

不过后来，数学家们确实找到了一些初等的纯几何证明方法。

时至今日，随着被数竞带动的初等数学教育与研究的发展，对于很多优秀的奥数高手来说，这个定理也只能算是课后习题难度了。第55届列宁格勒数学奥林匹克竞赛9年级组的比赛中，就曾出过一道类似的题目。

如果你以前从没见过这个定理，读到这儿的话，不妨自己尝试证明一下。

(提示: 虽然定理表述与圆没有任何关系，试着引入圆说不定会有意想不到的效果哦)

定理证明

下面给出两种证明方法。

方法一：

证毕!

逆命题方法类似，读者自证不难。

方法二:

证毕！

逆命题方法类似，读者自证不难。

定理推广

厄克特定理：

按照这个思路，我们把共焦点的椭圆换成共焦点的双曲线，又可以得到如下定理 1，同学们可以仿照厄克特定理自行证明。

定理1：

甚至，根据B，D与C，F各自所在的双曲线类型，在焦点连线的同侧或异侧，在双曲线的同支或异支等区别，我们还能得到如下一系列的定理的变形结构，它们实际都是厄克特定理或定理1的推论。

推论1：

推论2：

推论3：

推论4：

上面我们从圆锥曲线的角度考虑进行了定理的推广。

另一方面，看到过椭圆焦点的直线，同学们是不是很自然的猜测它会不会有光学背景呢？没错！

如果我们从光学角度看待这个问题，厄克特定理是说对于两个共焦点的椭圆，一束从其中一个焦点出发的光线先经第一个椭圆反射，再经第二个椭圆反射得到的光线与先经第二个椭圆反射，再经第一个椭圆反射得到的光线是重合的，即这种反射对于共焦点的椭圆操作具有可交换性！

于是，同学们这时应该很自然的猜测，如果初始光线不从椭圆焦点出发，这种反射可交换性还能保持吗？

答案是肯定的。

如下图，去掉从焦点出发这个条件，结论依然成立！至于图中为什么存在一个和光线相切的虚线辅助椭圆，可以参见四周都是镜子的房间里，能玩躲猫猫吗？。

以上就是今天要分享的 '平面几何最初等的定理' 的知识。

相信有耐心有能力读到这里的同学一定为这个定理和证明的初等与简洁所深深着迷。

你们认为它名符其实吗？还有哪些几何定理你们认为比较有意思呢？